Übungsaufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Berechne alle Winkel $\alpha$ zwischen $0 °$ und $360 °$ , die folgende Gleichung erfüllen:

\displaystyle \left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]\cdot\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktion

\displaystyle \left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]\cdot\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0

Die Gleichung ist $0$ , wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$\left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]=0$ oder $\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0$

Betrachte zunächst den ersten Faktor:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} 4\cdot\sin(2\cdot\alpha) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) &=& 0 &|+(\sqrt{6} + \sqrt{2})\\\\ 4\cdot\sin(2\cdot\alpha) &=& \sqrt{6} + \sqrt{2} &|\div 4 \\\\ \sin(2\cdot\alpha) &=& \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} &|\sin^{-1}(\ldots) \\\\ 2\cdot\alpha &=& \sin^{-1}(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) &|\div 2 \\\\ \alpha &=& \dfrac{\sin^{-1}(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{2} \end{array}

Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.

\displaystyle \alpha = 37{,}5°

Überprüfe nun, ob außer $\alpha=37{,}5°$ noch weitere Winkel eine Lösung sein können. Betrachte dazu zum Beispiel den Einheitskreis:

trigonometrische Funktionen Einheitskreis

Hier kannst du sehen, dass der Sinus für zwei Winkel den gleichen Wert annimmt. $\sin(75°)=\sin(180°-75°)=\sin(105°)$ . Daraus folgt $2\alpha=105°$ . Das heißt, $\alpha = 52{,}5°$ ist eine weitere Lösung.

Betrachte als nächstes den zweiten Faktor.

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rclll} \left( \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2 + 2\cdot \sqrt{5} - 5 &=& 0 \qquad\qquad\qquad| - 2\cdot\sqrt{5} |+5 \\\\ \left( \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2 &=& - 2\cdot\sqrt{5} +5 &|\surd\\\\ \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right) &=& \pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5} &|\tan^{-1}(\ldots) \\\\ \dfrac{\alpha}{3} &=& \tan^{-1}\left(\pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5}\right) &|\cdot 3 \\\\ \alpha &=& 3\cdot \tan^{-1}\left(\pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5}\right) \end{array}

Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.

\displaystyle \alpha=\pm108°

Gesucht sind Winkel zwischen $0 °$ und $360 °$ . Also ist $- 108 °$ keine gültige Lösung.

\displaystyle \alpha=108°

Beachte: Für den Tangens gilt die Supplementbeziehung

\displaystyle \tan(\frac{\alpha}{3})=\tan(\frac{\alpha}{3}+180°).

Überprüfe damit, ob weitere Winkel eine Lösung sein können. Es folgt daraus, dass auch

\displaystyle \tan\left(\frac{108°}{3}+180°\right)=\tan(216°).

Aber $\frac{\alpha}{3} =216°$ ergibt $\alpha=648°$ . Der Winkel ist größer als $360 °$ und damit keine Lösung. $108 °$ ist also von diesem Teil der Gleichung die einzige Lösung.

Insgesamt wird die Gleichung von allen $\alpha\in\{37{,}5°;52{,}5°;108°\}$ gelöst.

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