Übungsaufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Lösung für die Funktion $f(x)$:

Aufgrund der Achsensymmertrie muss es sich um eine Kosinus-Funktion handeln.

Du kannst die Kosinus-Funktion $\cos(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \cos(b\cdot(x+c))+d$.

Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du das diese $1$ beträgt, also genau so groß wie bei der normalen Kosinus-Funktion $\cos(x)$, dass heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, das $a$ den Wert $1$ haben muss, weil man die Amlitupde der $\cos(x)$ Funktion nicht verändert.

Ebenfalls siehst du, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode wie die $\cos(x)$ Funktion, das bedeutet, $b$ aus der allgemeinen Form muss den Wert $1$ haben.

Nachdem die gesuchte Funktion auch nicht nach rechts oder links verschoben wurde,muss der Wert von $c$ aus der allgemeinen Form $0$ sein.

Jetzt musst du also nur noch die Verschiebung des Graphen der gesuchten Funktionnach oben betrachten. Der Graph der gesuchten Funktion wurde um $2$ nach oben verschoben, das heißt, $d$ aus der alllgemeinen Form hat den Wert $2$.

Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=1,b=1,c=0,d=2$, erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion $f(x)$:

$f(x)=1\cdot \cos(1\cdot(x+0))+2 = \cos(x)+2$

Lösung für die Funktion g(x):

Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (-1|0) muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.

Du kannst die Sinus-Funktion $\sin(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d$.

Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese $2$ beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass $a$ den Wert $2$ haben muss, weil die Amplitude der gesuchten Funktion doppelt so groß ist wie die der $\sin(x)$ Funktion.

Du siehst, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode hat wie die $\sin(x)$ Funktion, das bedeutet, $b$ aus der allgemeinen Form muss den Wert $1$ haben.

Die gesuchte Funktion wurde auch nicht nach rechts oder links verschoben ,deshalb muss der Wert von $c$ aus der allgemeinen Form $0$ sein.

Betrachtest du die Verschiebung des Graphen nach unten, stellst du fest, dass die gesuchte Funktion um $1$ nach unten verschoben wurde, also hat $d$ aus der allgemeinen Form den Wert $-1$,

Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=2,b=1,c=0,d=-1$, erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion $g(x)$:

$g(x)=2\cdot \sin(1\cdot(x+0))-1 = 2\cdot\sin(x)-1$

Lösung für die Funktion h(x):

Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.

Du kannst die Sinus-Funktion $\sin(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d$.

Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese $\frac{1}{2}$ beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass $a$ den Wert $\frac{1}{2}$ haben muss, weildie Amlitude der gesuchten Funktion halb so groß ist wie die der $\sin(x)$ Funktion.

Betrachtest du die Periode des Graphen der gesuchten Funktion, siehst du, dass diese im Vergleich zur $\sin(x)$ nur halb so groß ist(oder auch: der Sinus "läuft" doppelt so schnell). Das heißt, dass $b$ in unserer allgemeinen Form hat den Wert $2$.

Der Graph der Funktion wurde im Vergleich zu $\sin(x)$ auch nicht nach rechts oder links verschoben, das heißt der Wert von $c$ in der allgemeinen Form beträgt $0$.

Vergleichst du den Graph mit der $\sin(x)$ Funktion, siehst du, dass dieser nicht nach oben oder unten verschoben wurde, deshalb hat $d$ aus der allgemeinen Form den Wert $0$.

Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=\frac{1}{2},b=2,c=0,d=0$, erhält man folgende Lösung für die gesuchte Funktion $h(x)$:

$h(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot(x+0))+0 = \frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x)$

Die Gleichung ist $0$, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.

$\left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]=0$ oder $\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0$

Betrachte zunächst den ersten Faktor:

Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.

Betrachte als nächstes den zweiten Faktor.

Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.

Gesucht sind Winkel zwischen $0°$ und $360°$. Also ist $-108°$ keine gültige Lösung.

Insgesamt wird die Gleichung von allen $\alpha\in\{37{,}5°;52{,}5°;108°\}$ gelöst.

Um die allgemeine Gültigkeit der Gleichung zu zeigen, vereinfachst du erst mal soweit wie möglich um zu sehen ob am Ende der Vereinfachungen eine allgemeingültige Formel dasteht.

Ersetze also $\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$ durch $\cos(x)$

Du bekommst somit den Term: