Übungsaufgaben zu trigonometrischen Funktionen

Hier findest du gemischte Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen und Termen. Lerne, Funktionsterme aufzustellen und Terme zu vereinfachen!

1
Vereinfache und fasse soweit wie möglich zusammen:
1. $\dfrac{1-(\cos(\alpha))^2}{\sin(\alpha)\cdot \sin(90°-\alpha)}-\tan(\alpha)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
  Gegeben:
  $\dfrac{1-(\cos(a))^2}{\sin(a)\cdot\sin(90°-a)}-\tan(a)$
  Verwende den trigonometrischen Pythagoras:
  $\sin^2(a)+\cos^2(a)=1$
  Damit kannst du den Zähler vereinfachen.
  $=\dfrac{\sin^2(a)}{\sin(a)\cdot\sin(90°-a)}-\tan(a)$
  Kürze im Bruch mit $\sin(a)$ .
  $=\dfrac{\sin(a)}{\sin(90°-a)}-\tan(a)$
  Wegen der Komplementbeziehung gilt:
  $\sin(90°-a)=\cos(a)$ .
  $=\dfrac{\sin(a)}{\cos(a)}-\tan(a)$
  Benutze die Definition der Tangensfunktion.
  $=\tan(a)-\tan(a) = 0$
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2. $\displaystyle \dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)-\tan(x)}{\tan(x)}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
  Gegeben:
  $\displaystyle \dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)-\tan(x)}{\tan(x)}$
  Ziehe den hinteren Bruch auseinander.
  $\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}-\dfrac{\tan(x)}{\tan(x)}$
  $\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}-1$
  Aus der Formel für den Tangens folgt:
  $\displaystyle \tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\quad |\cdot\cos(x)$
  $\displaystyle \tan(x)\cdot\cos(x)=\sin(x)\quad |:\tan(x)$
  $\displaystyle \cos(x)=\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$
  Ersetze also $\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$ durch $\cos(x)$
  $\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-\left(\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)^2}+\cos(x)-1$
  Ersetze $\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$ im Nenner des Bruches durch $\cos(x)$
  $\displaystyle =\dfrac{\left(\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right)^2}{1-(\cos(x))^2}+\cos(x)-1$
  Wenn du die Kosinusfunktion um $\frac{\pi}{2}$ verschiebt, also $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ , erhältst du $-\sin(x)$ .
  $\displaystyle =\dfrac{(-\sin(x))^2}{1-(\cos(x))^2}+\cos(x)-1$
  Es gilt allgemein $(- x)^{2} = x^{2}$ , also auch $(-\sin(x))^2=(\sin(x))^2$ .
  $\displaystyle =\dfrac{(\sin(x))^2}{1-(\cos(x))^2}+\cos(x)-1$
  Verwende den trigometrischen Pythagoras:
  $\displaystyle (\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1\quad |-(\cos(x))^2$
  $\displaystyle (\sin(x))^2=1-(\cos(x))^2$
  $\displaystyle =\dfrac{(\sin(x))^2}{(\sin(x))^2}+\cos(x)-1$
  $\displaystyle =1+\cos(x)-1$
  $\displaystyle =\cos(x)$
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2
Bestimme die Funktionsgleichung zu folgenden Graphen:

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Funktionen
Lösung für die Funktion $f (x)$ :
Aufgrund der Achsensymmertrie muss es sich um eine Kosinus-Funktion handeln.
Du kannst die Kosinus-Funktion $\cos(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \cos(b\cdot(x+c))+d$ .
Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du das diese $1$ beträgt, also genau so groß wie bei der normalen Kosinus-Funktion $\cos(x)$ , dass heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, das $a$ den Wert $1$ haben muss, weil man die Amlitupde der $\cos(x)$ Funktion nicht verändert.
Ebenfalls siehst du, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode wie die $\cos(x)$ Funktion, das bedeutet, $b$ aus der allgemeinen Form muss den Wert $1$ haben.
Nachdem die gesuchte Funktion auch nicht nach rechts oder links verschoben wurde,muss der Wert von $c$ aus der allgemeinen Form $0$ sein.
Jetzt musst du also nur noch die Verschiebung des Graphen der gesuchten Funktionnach oben betrachten. Der Graph der gesuchten Funktion wurde um $2$ nach oben verschoben, das heißt, $d$ aus der alllgemeinen Form hat den Wert $2$ .
Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a = 1, b = 1, c = 0, d = 2$ , erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion $f (x)$ :
$f(x)=1\cdot \cos(1\cdot(x+0))+2 = \cos(x)+2$
Lösung für die Funktion g(x):
Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (-1|0) muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.
Du kannst die Sinus-Funktion $\sin(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d$ .
Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese $2$ beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass $a$ den Wert $2$ haben muss, weil die Amplitude der gesuchten Funktion doppelt so groß ist wie die der $\sin(x)$ Funktion.
Du siehst, dass der Graph der gesuchten Funktion die selbe Periode hat wie die $\sin(x)$ Funktion, das bedeutet, $b$ aus der allgemeinen Form muss den Wert $1$ haben.
Die gesuchte Funktion wurde auch nicht nach rechts oder links verschoben ,deshalb muss der Wert von $c$ aus der allgemeinen Form $0$ sein.
Betrachtest du die Verschiebung des Graphen nach unten, stellst du fest, dass die gesuchte Funktion um $1$ nach unten verschoben wurde, also hat $d$ aus der allgemeinen Form den Wert $- 1$ ,
Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a = 2, b = 1, c = 0, d = - 1$ , erhälst du folgende Lösung für die gesuchte Funktion $g (x)$ :
$g(x)=2\cdot \sin(1\cdot(x+0))-1 = 2\cdot\sin(x)-1$
Lösung für die Funktion h(x):
Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs muss es sich um eine Sinus-Funktion handeln.
Du kannst die Sinus-Funktion $\sin(x)$ verschieben und strecken, mit der allgemeinen Funktionsgleichung: $a\cdot \sin(b\cdot(x+c))+d$ .
Betrachtest du die Amplitude der Funktion, siehst du, dass diese $\frac{1}{2}$ beträgt, das heißt für die allgemeine Funktionsgleichung, dass $a$ den Wert $\frac{1}{2}$ haben muss, weildie Amlitude der gesuchten Funktion halb so groß ist wie die der $\sin(x)$ Funktion.
Betrachtest du die Periode des Graphen der gesuchten Funktion, siehst du, dass diese im Vergleich zur $\sin(x)$ nur halb so groß ist(oder auch: der Sinus "läuft" doppelt so schnell). Das heißt, dass $b$ in unserer allgemeinen Form hat den Wert $2$ .
Der Graph der Funktion wurde im Vergleich zu $\sin(x)$ auch nicht nach rechts oder links verschoben, das heißt der Wert von $c$ in der allgemeinen Form beträgt $0$ .
Vergleichst du den Graph mit der $\sin(x)$ Funktion, siehst du, dass dieser nicht nach oben oder unten verschoben wurde, deshalb hat $d$ aus der allgemeinen Form den Wert $0$ .
Fasst du nun alle Werte der Variablen zusammen, $a=\frac{1}{2},b=2,c=0,d=0$ , erhält man folgende Lösung für die gesuchte Funktion $h (x)$ :
$h(x)=\frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot(x+0))+0 = \frac{1}{2}\cdot\sin(2\cdot x)$
3
Berechne alle Winkel $\alpha$ zwischen $0 °$ und $360 °$ , die folgende Gleichung erfüllen:
$\displaystyle \left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]\cdot\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktion
$\displaystyle \left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]\cdot\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0$
Die Gleichung ist $0$ , wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist.
$\left[4\cdot\sin(2\cdot\alpha)-(\sqrt6+\sqrt2)\right]=0$ oder $\left[\left(\tan\left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2+2\cdot\sqrt5 - 5\right]=0$
Betrachte zunächst den ersten Faktor:
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} 4\cdot\sin(2\cdot\alpha) - (\sqrt{6} + \sqrt{2}) &=& 0 &|+(\sqrt{6} + \sqrt{2})\\\\ 4\cdot\sin(2\cdot\alpha) &=& \sqrt{6} + \sqrt{2} &|\div 4 \\\\ \sin(2\cdot\alpha) &=& \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} &|\sin^{-1}(\ldots) \\\\ 2\cdot\alpha &=& \sin^{-1}(\dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) &|\div 2 \\\\ \alpha &=& \dfrac{\sin^{-1}(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})}{2} \end{array}$
Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.
$\displaystyle \alpha = 37{,}5°$
Überprüfe nun, ob außer $\alpha=37{,}5°$ noch weitere Winkel eine Lösung sein können. Betrachte dazu zum Beispiel den Einheitskreis:
Hier kannst du sehen, dass der Sinus für zwei Winkel den gleichen Wert annimmt. $\sin(75°)=\sin(180°-75°)=\sin(105°)$ . Daraus folgt $2\alpha=105°$ . Das heißt, $\alpha = 52{,}5°$ ist eine weitere Lösung.
Betrachte als nächstes den zweiten Faktor.
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rclll} \left( \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2 + 2\cdot \sqrt{5} - 5 &=& 0 \qquad\qquad\qquad| - 2\cdot\sqrt{5} |+5 \\\\ \left( \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right)\right)^2 &=& - 2\cdot\sqrt{5} +5 &|\surd\\\\ \tan \left(\dfrac{\alpha}{3}\right) &=& \pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5} &|\tan^{-1}(\ldots) \\\\ \dfrac{\alpha}{3} &=& \tan^{-1}\left(\pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5}\right) &|\cdot 3 \\\\ \alpha &=& 3\cdot \tan^{-1}\left(\pm \sqrt{- 2\cdot\sqrt{5} +5}\right) \end{array}$
Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.
$\displaystyle \alpha=\pm108°$

Gesucht sind Winkel zwischen $0 °$ und $360 °$ . Also ist $- 108 °$ keine gültige Lösung.
$\displaystyle \alpha=108°$
Beachte: Für den Tangens gilt die Supplementbeziehung
$\displaystyle \tan(\frac{\alpha}{3})=\tan(\frac{\alpha}{3}+180°).$
Überprüfe damit, ob weitere Winkel eine Lösung sein können. Es folgt daraus, dass auch
$\displaystyle \tan\left(\frac{108°}{3}+180°\right)=\tan(216°).$
Aber $\frac{\alpha}{3} =216°$ ergibt $\alpha=648°$ . Der Winkel ist größer als $360 °$ und damit keine Lösung. $108 °$ ist also von diesem Teil der Gleichung die einzige Lösung.
Insgesamt wird die Gleichung von allen $\alpha\in\{37{,}5°;52{,}5°;108°\}$ gelöst.

Das Wissenschaftsmagazin "I $\heartsuit$ physics " berichtet über eine herausragende Entdeckung. Zur Berechnung der Lichtwellenlänge $x$ soll folgende Formel gelten:

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\cos(x)\right)-\frac{\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)}{\sin(x)}=0

Ist diese Formel mathematisch allgemein gültig? Begründe deine Antwort rechnerisch!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Funktionen

Um die allgemeine Gültigkeit der Gleichung zu zeigen, vereinfachst du erst mal soweit wie möglich um zu sehen ob am Ende der Vereinfachungen eine allgemeingültige Formel dasteht.

\displaystyle \left(\sin(x)+\frac{\sin(x)}{\tan(x)}\right)\cdot\left(\cos(x+\frac{\pi}{2})-\cos(x)\right)+\frac{\cos(x-\frac{3}{2}\cdot\pi)}{\sin(x)}=0

Aus der Formel für den Tangens folgt:

$\displaystyle \tan\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$	$\displaystyle \cdot\cos\left(x\right)$
$\displaystyle \tan\left(x\right)\cdot\cos\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sin\left(x\right)$	$\displaystyle :\tan\left(x\right)$
$\displaystyle \cos\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin(x)}{\tan(x)}$

Ersetze also $\dfrac{\sin(x)}{\tan(x)}$ durch $\cos(x)$

Du bekommst somit den Term:

\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\cos(x+\frac{\pi}{2})-\cos(x)\right)+\frac{\cos(x-\frac{3}{2}\cdot\pi)}{\sin(x)}=0

Wenn du die Kosinus-Funktion um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschiebst, also $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ erhält man die Funktion des Sinus also $\sin(x)$ .

\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+\frac{\cos(x-\frac{3}{2}\cdot\pi)}{\sin(x)}=0

Wenn du die Kosinus-Funktion um $\frac{3}{2}\cdot\pi$ nach links verschiebst, also $\cos\left(x-\frac{3}{2}\cdot\pi\right)$ , erhält man die negative Funktion des Sinus also $-\sin(x)$ .

$\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+\frac{-\sin(x)}{\sin(x)}$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)+(-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \left(\sin(x)+\cos(x)\right)\cdot\left(\sin(x)-\cos(x)\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Verwende die dritte binomische Formel
$\displaystyle (\sin(x))^2-(\cos(x))^2-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle (\sin(x))^2-(\cos(x))^2$	$=$	$\displaystyle 1$

Daraus kannst du direkt folgern,dass die Formel nicht allgemeingültig ist, denn der trigometrischen Pythagoras müsste lauten:

\displaystyle (\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1

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