Berechne alle Winkel α zwischen 0° und 360°, die folgende Gleichung erfüllen:
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Trigonometrische Umkehrfunktion
Die Gleichung ist 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
[4⋅sin(2⋅α)−(6+2)]=0 oder [(tan(3α))2+2⋅5−5]=0
Betrachte zunächst den ersten Faktor:
Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.
Überprüfe nun, ob außer α=37,5° noch weitere Winkel eine Lösung sein können. Betrachte dazu zum Beispiel den Einheitskreis:
Hier kannst du sehen, dass der Sinus für zwei Winkel den gleichen Wert annimmt. sin(75°)=sin(180°−75°)=sin(105°). Daraus folgt 2α=105°. Das heißt, α=52,5° ist eine weitere Lösung.
Betrachte als nächstes den zweiten Faktor.
Die rechte Seite der Gleichung kannst du nun mit dem Taschenrechner berechnen.
Gesucht sind Winkel zwischen 0° und 360°. Also ist −108° keine gültige Lösung.
Beachte: Für den Tangens gilt die Supplementbeziehung
Überprüfe damit, ob weitere Winkel eine Lösung sein können. Es folgt daraus, dass auch
Aber 3α=216° ergibt α=648°. Der Winkel ist größer als 360° und damit keine Lösung. 108° ist also von diesem Teil der Gleichung die einzige Lösung.
Insgesamt wird die Gleichung von allen α∈{37,5°;52,5°;108°} gelöst.
