Aufgaben zu den Potenzgesetzen

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Wende die Potenzgesetze an, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:

$3^2 \cdot 3^1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

$\displaystyle 3^2\cdot3^1$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ an. Hier ist $x=2, y=1, a=3$ .
	$=$	$\displaystyle 3^{2+1}$
	↓	Fasse den Exponent zusammen.
	$=$	$\displaystyle 3^3$

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$4^2 \cdot 4^9 \cdot 4^{-12}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

$\displaystyle 4^2\cdot4^9\cdot4^{-12}$	$=$
	↓	Wende zunächst die Potenzgesetze auf $4^2 \cdot 4^9$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^{2+9}\cdot4^{-12}$
	$=$	$\displaystyle 4^{11}\cdot4^{-12}$
	↓	Wende nun das Potenzgesetz auf $4^{11} \cdot 4^{-12}$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^{-1}$
	↓	Der Term lässt sich sogar noch weitervereinfachen, indem du die Regel des negativen Exponenten verwendest, das bedeutet $a^{-1}=\frac{1}{a}.$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}$

$4^8 \cdot 2^{-3} \cdot 2^5 \cdot 5^9$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

$\displaystyle 4^8\cdot2^{-3}\cdot2^5\cdot5^9$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^y = a^{x +y}$ auf $2^{-3} \cdot 2^5$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^8\cdot2^2\cdot5^9$
	↓	Schreibe $2^2=2\cdot2=4=4^1$ .
	$=$	$\displaystyle 4^8\cdot4^1\cdot5^9$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^{x} \cdot a^y = a^{x +y}$ auf $4^8 \cdot 4^1$ an.
	$=$	$\displaystyle 4^9\cdot5^9$
	↓	Wende das Potenzgesetz $a^x \cdot b^x = (a\cdot b)^x$ an.
	$=$	$\displaystyle 20^9$

$\left(7^7\right)^7$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

$\displaystyle \left(7^7\right)^7$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $\left(a^x \right)^y=a^{x\cdot y}$ an.
	$=$	$\displaystyle 7^{7\cdot7}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$\displaystyle 7^{49}$

$\dfrac{9^2}{9^{-3}}:3^{5}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

$\displaystyle \frac{9^2}{9^{-3}}:3^5$	$=$
	↓	Wende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ auf $\frac{9^2}{9^{-3}}$ an.
	$=$	$\displaystyle 9^{2-\left(-3\right)}:3^5$
	↓	Fasse den Exponenten von $9$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle 9^5:3^5$
	↓	Schreibe $a:b=\frac{a}{b}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{9^5}{3^5}$
	↓	Verwende die Potenzregel $\frac{a^x}{b^x}=\left( \frac {a}{b} \right)^x$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{9}{3}\right)^5$
	↓	Fasse die Basis zusammen.
	$=$	$\displaystyle 3^5$

$\dfrac{~~~\dfrac{26^2}{26^8}~~~}{\dfrac{13^{-3}}{13^3}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

$\displaystyle \frac{\frac{26^2}{26^8}}{\frac{13^{-3}}{13^3}}$	$=$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ auf die Basis $26$ an.
	$=$	$\displaystyle \frac{26^{-6}}{\frac{13^{-3}}{13^3}}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ auf die Basis $13$ an.
	$=$	$\displaystyle \frac{26^{-6}}{13^{-6}}$
	↓	Verwende das Potenzgesetz $\frac{a^x}{b^x}=\left( \frac{a}{b} \right)^x$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{26}{13}\right)^{-6}$
	↓	Fasse die Basis zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2^{-6}$