Aufgaben zu den Potenzgesetzen
Lerne mit diesen Übungsaufgaben, Potenzen auszurechnen und die verschiedenen Potenzgesetze anzuwenden.
- 1
Rechne mit den Potenzgesetzen
Ordne den Termen den richtigen Wert zu.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Richtige Zuordnung
33⋅32=33+2=35
3335=35−3=32
(33)2=33⋅2=36
(36)0=36⋅0=30=1
Verwende die Potenzgesetze, um die Terme zusammenzufassen.
- 2
Wende die Potenzgesetze an, um folgende Ausdrücke zu vereinfachen:
32⋅31
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
32⋅31 = ↓ Wende das Potenzgesetz ax⋅ay=ax+y an. Hier ist x=2,y=1,a=3.
= 32+1 ↓ Fasse den Exponent zusammen.
= 33 Hast du eine Frage oder Feedback?
42⋅49⋅4−12
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
42⋅49⋅4−12 = ↓ Wende zunächst die Potenzgesetze auf 42⋅49 an.
= 42+9⋅4−12 = 411⋅4−12 ↓ Wende nun das Potenzgesetz auf 411⋅4−12 an.
= 4−1 ↓ Der Term lässt sich sogar noch weitervereinfachen, indem du die Regel des negativen Exponenten verwendest, das bedeutet a−1=a1.
= 41 Hast du eine Frage oder Feedback?
48⋅2−3⋅25⋅59
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
48⋅2−3⋅25⋅59 = ↓ Wende das Potenzgesetz ax⋅ay=ax+y auf 2−3⋅25 an.
= 48⋅22⋅59 ↓ Schreibe 22=2⋅2=4=41.
= 48⋅41⋅59 ↓ Wende das Potenzgesetz ax⋅ay=ax+y auf 48⋅41 an.
= 49⋅59 ↓ Wende das Potenzgesetz ax⋅bx=(a⋅b)x an.
= 209 Hast du eine Frage oder Feedback?
(77)7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
(77)7 = ↓ Wende das Potenzgesetz (ax)y=ax⋅y an.
= 77⋅7 ↓ Fasse den Exponenten zusammen.
= 749 Hast du eine Frage oder Feedback?
9−392:35
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
9−392:35 = ↓ Wende das Potenzgesetz ayax=ax−y auf 9−392 an.
= 92−(−3):35 ↓ Fasse den Exponenten von 9 zusammen.
= 95:35 ↓ Schreibe a:b=ba.
= 3595 ↓ Verwende die Potenzregel bxax=(ba)x.
= (39)5 ↓ Fasse die Basis zusammen.
= 35 Hast du eine Frage oder Feedback?
13313−3 268262
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
13313−3268262 = ↓ Verwende das Potenzgesetz ayax=ax−y auf die Basis 26 an.
= 13313−326−6 ↓ Verwende das Potenzgesetz ayax=ax−y auf die Basis 13 an.
= 13−626−6 ↓ Verwende das Potenzgesetz bxax=(ba )x.
= (1326)−6 ↓ Fasse die Basis zusammen.
= 2−6 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 3
Fasse so weit wie möglich zusammen.
a3:a6
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
1. Darstellung
a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅aa⋅a⋅a = ↓ Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
= a⋅a⋅a1 = a31=a−3 2. Darstellung
a3:a6 = ↓ Potenzgesetze anwenden
= a3−6 = a−3 Hast du eine Frage oder Feedback?
2x−2⋅3x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze
2x−2⋅3x3 = ↓ Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.
= 2⋅3⋅x−2⋅x3 ↓ Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.
= 2⋅3⋅x−2+3 ↓ Verrechne im Exponenten
= 6x Hast du eine Frage oder Feedback?
10−12:10−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze
10−12:10−3 = ↓ Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
= 10−12−(−3) ↓ = 10−9 Hast du eine Frage oder Feedback?
6:23−9⋅3−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
6:23−9⋅3−2 = ↓ 9 als 32 schreiben
= 6:23−32⋅3−2 ↓ Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
= 6:8−32+(−2) ↓ Vereinfache die Exponenten
= 6:8−30 ↓ Ausrechnen
= 0,75−1 = −0,25 Hast du eine Frage oder Feedback?
x−n⋅x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
x−n⋅x = ↓ x entspricht x1
= x−n⋅x1 ↓ Wende die Potenzrechengesetze an.
= x−n+1 Alternativer Lösungsweg
x−n⋅x = ↓ Negative Potenzen werden als Bruch mit 1 im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.
= xn1⋅x1 ↓ Multiplizieren
= xnx1 ↓ Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
= x1−n Hast du eine Frage oder Feedback?
0,5x2+1,5x3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden, da unterschiedliche Potenzen auftreten. Man kann lediglich den Term anders darstellen, indem ausgeklammert wird. Hier kann 0,5x2 ausgeklammert werden.
0,5x2+1,5x3 = ↓ 0,5x2ausklammern.
= 0,5x2(1+3x) Hast du eine Frage oder Feedback?
(y−5y2x3y−4)−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende zuerst das Potenzgesetz an. Das Minus im Exponent in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird. x−2=x21
(y−5y2x3y−4)−2 = (x3y−4y−5y2)2 ↓ Potenzgesetz anwenden. Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren.
= (x3y−4y−5+2)2 = (x3y−4y−3)2 ↓ Kürzen mit y−3
= (x3y−11)2 ↓ Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
= (x3y)2 = x6y2 Hast du eine Frage oder Feedback?
(2x3)2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
(2x3)2 = ↓ Potenzgesetz : (a⋅b)x=ax⋅bx
= 22⋅x3⋅2 = 4⋅x6 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 4
Vereinfach die folgenden Terme.
10⋅10−2:104+100
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
10⋅10−2:104+100 = ↓ Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.
= 101−2:104+100 ↓ = 10−1:104+1 ↓ Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen
= 10−1−4+1 ↓ Berechne die Differenz der Potenz.
= 10−5+1 ↓ Potenziere und addiere.
= 1,00001 Hast du eine Frage oder Feedback?
x−1⋅x2⋅x0⋅x−3⋅x4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
x−1⋅x2⋅x0⋅x−3⋅x4 = ↓ Potenzgesetze anwenden.
= x−1+2+0−3+4 = x2 Hast du eine Frage oder Feedback?
10−1+10−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
10−1+10−2 = ↓ In Bruchform umwandeln
= 101+1001 ↓ Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
= 10010+1001 = 10011 Hast du eine Frage oder Feedback?
x−1+x−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
x−1+x−2 = ↓ Potenzgesetze anwenden
= x1+x21 ↓ Hauptnenner (x2) bilden.
= x2x+x21 = x21+x Hast du eine Frage oder Feedback?
x−2−x4x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
x−2−x4x2 = ↓ Potenzgesetz anwenden
= x−2−x2−4 = x−2−x−2 = 0 Hast du eine Frage oder Feedback?
(x1+x−2)⋅2x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
(x1+x−2)⋅2x = ↓ Schreibweise als Bruch
= (x1+x21)⋅2x ↓ = x2x+x22x = x2⋅x+x⋅x2⋅x ↓ = 2+x2 Hast du eine Frage oder Feedback?
- 5
Vereinfache folgenden Term unter Verwendung der Potenzgesetze
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
a4⋅d−2⋅c9⋅a2⋅b6⋅d−9⋅c5 = ↓ Da hier nur multipliziert wird, kannst du das 1. Potenzgesetz, bei gleichen Basen, immer anwenden
= a4+2⋅b6⋅c9+5⋅d(−2)+(−9) ↓ = a6⋅b6⋅c14⋅d−11 ↓ Die Basen sind zwar unterschiedlich, aber da die Potenzen gleich sind, kannst du hier das 3. Potenzgesetz anwenden.
= (ab)6⋅c14⋅d−11 - 6
Vereinfache die folgenden Ausdrücke mit ganzzahligen Exponenten so weit wie möglich.
(z2k−5:z3):zk
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
(z2k−5:z3):zk = (z2k−5−3):zk = z2k−8:zk = z2k−8−k = zk−8 Hast du eine Frage oder Feedback?
90⋅3n−2−3n
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Schreibe 90 als Potenz mit 3 als Basis.
90⋅3n−2−3n = 10⋅32⋅3n−2−3n ↓ Wende die Potenzgesetze an.
= 10⋅32+n−2−3n = 10⋅3n−3n ↓ Klammere 3n aus.
= 3n⋅(10−1) = 9⋅3n ↓ Schreibe 9 in eine 3er Potenz um
= 32⋅3n ↓ Wende die Potenzgesetze an.
= 32+n Hast du eine Frage oder Feedback?
[(4x)3]5:(2x)6 für x=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
[(4x)3]5:(2x)6 = (4x)3⋅5:(26x6) = (4x)15:(26x6) = (415x15):(26x6) = (415x15)⋅(x626) ↓ 26 in 43 umwandeln damit kürzen möglich ist.
= (415x15)⋅(x643) ↓ Kürze die Potenzen.
= 412x9 Hast du eine Frage oder Feedback?
(1−3a)2k+1(3a−1)2k−1 für a=31
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Klammer −1 aus.
(1−3a)2k+1(3a−1)2k−1 = (−3a+1)2k+1(−1)2k−1(−3a+1)2k−1 ↓ Dividiere und wende die Potenzgesetze an.
= (−1)2k−1(−3a+1)2k−1−(2k+1) ↓ Klammer auflösen. Nicht vergessen: Vorzeichenänderung
= (−1)2k−1(−3a+1)2k−1−2k−1 = (−1)2k−1(−3a+1)−2 ↓ Die Klammer mit negativem Exponenten als Bruch schreiben.
= (−1)2k−1⋅(−3a+1)21 = (−3a+1)2(−1)2k−1 = −(−3a+1)21 Hast du eine Frage oder Feedback?
(cn+1d2n6a2b−2)3:[ab−12(cd)n⋅3ab−2cnd2n]−2 für a,b,c,d=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Wende die Potenzgesetze an.
(cn+1d2n6a2b−2)3:[ab−12(cd)n⋅3ab−2cnd2n]−2 = (c3n+3d6n63a6b−6):(2(cd)n⋅cnd2nab−1⋅3ab−2)2 = (c3n+3d6n⋅b663a6):(22(cd)2n⋅c2nd4na2b−2⋅32a2b−4) ↓ Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
= (c3n+3d6n⋅b663a6)⋅(a2b−2⋅32a2b−422(cd)2n⋅c2nd4n) ↓ Fasse zusammen.
= 9a4c3n+3d6n216a64c4nd6n ↓ Kürze.
= 9216a24cn−3 = 96a2cn−3 Hast du eine Frage oder Feedback?
Annahme: x,y,z>0, b∈Z
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Da x größer als 0 ist, kannst du mit dem Kehrwert multiplizieren. Für den Wert von
A=(−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5:(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1x2a gilt dann
A = (−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5:(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1x2a ↓ Potenzen ausmultiplizieren.
= (−y3)2b+5⋅[(−z)4]3b+3x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅[(−z)3]2b−1 = (−y3)2b+5⋅(−z)4(3b+3)x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅(−z)3(2b−1) = (−y)6b+15⋅(−z)12b+12x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅(−z)6b−3 ↓ Aus allen negativen Werten -1 ausklammern.
= (−1)6b+15⋅y6b+15⋅(−1)12b+12⋅z12b+12x2a+5⋅x2a(yz)6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3 ↓ Faktorenzerlegung von (yz)6b+10
= (−1)6b+15⋅y6b+15⋅(−1)12b+12⋅z12b+12x2a+5⋅x2ay6b+10⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3 = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x2a+5−2a⋅y6b+10−(6b+15)⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3−(12b+12) ↓ Klammern auflösen.
= (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x2a+5−2a⋅y6b+10−6b−15⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z6b−3−12b−12 = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x5⋅y−5⋅z6b+10⋅(−1)6b−3⋅z−6b−15 ↓ Weiter vereinfachen.
= (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x5⋅y−5⋅z6b+10−6b−15⋅(−1)6b−3 = (−1)6b+15⋅(−1)12b+12x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3 ↓ Nenner zusammenfassen.
= (−1)6b+15+12b+12x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3 = (−1)18b+27x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3 ↓ Potenzen mit der Basis -1 zusammenfassen.
= 1x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)6b−3−(18b+27) = 1x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)−12b−30 = x5⋅y−5⋅z−5⋅(−1)−12b−30 ↓ Negative Exponenten in einen Bruch umwandeln.
= y5⋅z5x5⋅(−1)−12b−30 Weil −12b−30 eine gerade Zahl ist, ist (−1)−12b−30=1, und daher kann man das Ergebnis auch als y5z5x5 oder als (yzx)5schreiben.
Hast du eine Frage oder Feedback?
(3ac−22a−1b2)−3 für a,b,c=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetze anwenden.
(3ac−22a−1b2)−3 = 3−3a−3c62−3a3b−6 = 23c6b6a333a3 = 8c6b6a3⋅27a3 ↓ Potenzgesetze im Zähler anwenden.
= 8b6c627a6 Hast du eine Frage oder Feedback?
(vu)n⋅(uv)3n+4:(u−v)2n+1 für u,v=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Klammer nach Potenzgesetzen auflösen.
(vu)n⋅(uv)3n+4:(u−v)2n+1 = vnun⋅u3n+4v3n+4:u2n+1−v2n+1 ↓ Division in Bruchschreibweise darstellen.
= u2n+1−v2n+1vnun⋅u3n+4v3n+4 ↓ Wandle den Doppelbruch um.
= vnun⋅u3n+4v3n+4⋅−v2n+1u2n+1 ↓ Zu einem Bruch zusammenfassen.
= vn⋅u3n+4⋅(−v2n+1)un⋅v3n+4⋅u2n+1 = u3n+4⋅(−1)⋅vn+2n+1un+2n+1⋅v3n+4 ↓ Exponenten zusammenfassen.
= u3n+4⋅(−1)⋅v3n+1u3n+1⋅v3n+4 ↓ Kürze mithilfe der Regeln für Potenzgesetze.
= u3n+1−(3n+4)⋅(−1)⋅v3n+4−(3n+1) = u−3⋅(−1)⋅v3 ↓ u−3=u31
= u3(−1)⋅v3 = u3−v3 = −(uv)3 Hast du eine Frage oder Feedback?
xm+2x5+1−xm2x2−2+xm−22−x für x=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Den zweiten Bruch mit x2 erweiteren.
xm+2x5+1−xm2x2−2+xm−22−x = xm+2x5+1−xm+22x4−2x2+xm⋅x−22−x ↓ x−2 mit Hilfe der Potenzgesetze mit dem Zähler multiplizieren.
= xm+2x5+1−xm+22x4−2x2+xm2x2−x3 ↓ Den dritten Bruch mit x2 erweiteren.
= xm+2x5+1−xm+22x4−2x2+xm+22x4−x5 = xm+2x5+1−2x4+2x2+2x4−x5 = xm+21+2x2 Hast du eine Frage oder Feedback?
(z+5z−3)2p+1⋅(z−35+z)p+1:(z+5z−3)4p für z∈{−5;3}
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Potenzgesetz anwenden.
(z+5z−3)2p+1⋅(z−35+z)p+1:(z+5z−3)4p = (z+5z−3)2p+1−4p⋅(z−35+z)p+1 = (z+5z−3)1−2p⋅(z−35+z)p+1 = (z+5z−3)1−2p⋅(z+5z−3)−(p+1) ↓ Klammer auflösen.
= (z+5