Aufgaben zu den Potenzgesetzen

Vereinfach die folgenden Terme.

$10 \cdot 10^{- 2} : 10^{4} + 10^{0}$

$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden.
$=$ $x^{- 1 + 2 + 0 - 3 + 4}$
$=$ $x^{2}$
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$10^{- 1} + 10^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
$10^{- 1} + 10^{- 2}$ $=$
↓
In Bruchform umwandeln
$=$ $\frac{1}{10} + \frac{1}{100}$
↓
Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
$=$ $\frac{10}{100} + \frac{1}{100}$
$=$ $\frac{11}{100}$
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$x^{- 1} + x^{- 2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 1} + x^{- 2}$ $=$
↓
Potenzgesetze anwenden
$=$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
↓
Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
$=$ $\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$
$=$ $\frac{1 + x}{x^{2}}$
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$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$ $=$
↓
Potenzgesetz anwenden
$=$ $x^{- 2} - x^{2 - 4}$
$=$ $x^{- 2} - x^{- 2}$
$=$ $0$
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$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze
$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$ $=$
↓
Schreibweise als Bruch
$=$ $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}) \cdot 2 x$
↓
Ausmultiplizieren
$=$ $\frac{2 x}{x} + \frac{2 x}{x^{2}}$
$=$ $\frac{2 \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x \cdot x}$
↓
Kürzen
$=$ $2 + \frac{2}{x}$
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$10 \cdot 10^{- 2} : 10^{4} + 10^{0}$	$=$
	↓	Da die Basen des Dividenden 10 sind, wende dort das 1. Potenzgesetz an. Achtung, Potenzgesetze bei dem Divisor nicht anwendbar, da es keine Potenzgesetze für Addition und Subtraktion gibt.
	$=$	$10^{1 - 2} : 10^{4} + 10^{0}$
	↓	Berechne die Differenz der ersten Potenz.
	$=$	$10^{- 1} : 10^{4} + 1$
	↓	Wende nun das 2. Potenzgesetz an, da Dividend und Divisor die gleiche Basis besitzen
	$=$	$10^{- 1 - 4} + 1$
	↓	Berechne die Differenz der Potenz.
	$=$	$10^{- 5} + 1$
	↓	Potenziere und addiere.
	$=$	$1,00001$

$x^{- 1} \cdot x^{2} \cdot x^{0} \cdot x^{- 3} \cdot x^{4}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden.
	$=$	$x^{- 1 + 2 + 0 - 3 + 4}$
	$=$	$x^{2}$

$10^{- 1} + 10^{- 2}$	$=$
	↓	In Bruchform umwandeln
	$=$	$\frac{1}{10} + \frac{1}{100}$
	↓	Den Hauptnenner bilden (100) und den 1. Bruch auf diesen erweitern.
	$=$	$\frac{10}{100} + \frac{1}{100}$
	$=$	$\frac{11}{100}$

$x^{- 1} + x^{- 2}$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$
	↓	Hauptnenner ( $x^{2}$ ) bilden.
	$=$	$\frac{x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$
	$=$	$\frac{1 + x}{x^{2}}$

$x^{- 2} - \frac{x^{2}}{x^{4}}$	$=$
	↓	Potenzgesetz anwenden
	$=$	$x^{- 2} - x^{2 - 4}$
	$=$	$x^{- 2} - x^{- 2}$
	$=$	$0$

$(\frac{1}{x} + x^{- 2}) \cdot 2 x$	$=$
	↓	Schreibweise als Bruch
	$=$	$(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}) \cdot 2 x$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{2 x}{x} + \frac{2 x}{x^{2}}$
	$=$	$\frac{2 \cdot x}{x} + \frac{2 \cdot x}{x \cdot x}$
	↓	Kürzen
	$=$	$2 + \frac{2}{x}$

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