Aufgaben zu den Potenzgesetzen

…

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$a^3\;:\;a^6$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

1. Darstellung

$\displaystyle \frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}$	$=$
	↓	Kürze die Faktoren, die sowohl im Nenner als auch im Zähler vorkommen
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a\cdot a\cdot a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{a^3}=a^{-3}$

2. Darstellung

$\displaystyle a^3:a^6$	$=$
	↓	Potenzgesetze anwenden
	$=$	$\displaystyle a^{3-6}$
	$=$	$\displaystyle a^{-3}$

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$2x^{-2}\;\cdot\;3x^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Potenzgesetze

$\displaystyle 2x^{-2}\cdot3x^3$	$=$
	↓	Verwende das Kommutativgesetz, damit du vorne die Zahlen multiplizieren kannst.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot3\cdot x^{-2}\cdot x^3$
	↓	Wende das Potenzgesetze zur Multiplikation mit gleicher Basis an.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot3\cdot x^{-2+3}$
	↓	Verrechne im Exponenten
	$=$	$\displaystyle 6x$

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$10^{-12}\;:\;10^{-3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Potenzgesetze

$\displaystyle 10^{-12}:10^{-3}$	$=$
	↓	Wende die Potenzgesetze (Division bei gleicher Basis) an.
	$=$	$\displaystyle 10^{-12-\left(-3\right)}$
	↓	Fasse den Exponenten zusammen.
	$=$	$\displaystyle 10^{-9}$

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$6\;:\;2^3-9\cdot3^{-2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle 6:2^3-9\cdot3^{-2}$	$=$
	↓	9 als $3^{2}$ schreiben
	$=$	$\displaystyle 6:2^3-3^2\cdot3^{-2}$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze bei gleicher Basis an.
	$=$	$\displaystyle 6:8-3^{2+\left(-2\right)}$
	↓	Vereinfache die Exponenten
	$=$	$\displaystyle 6:8-3^0$
	↓	Ausrechnen
	$=$	$\displaystyle 0{,}75-1$
	$=$	$\displaystyle -0{,}25$

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$x^{-n}\;\cdot\;x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle x^{-n}\cdot x$	$=$
	↓	$x$ entspricht $x^{1}$
	$=$	$\displaystyle x^{-n}\cdot x^1$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
	$=$	$\displaystyle x^{-n+1}$

Alternativer Lösungsweg

$\displaystyle x^{-n}\cdot x$	$=$
	↓	Negative Potenzen werden als Bruch mit $1$ im Zähler und mit der Basis der Potenz und positivem Exponent im Nenner dargestellt.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x^n}\cdot x^1$
	↓	Multiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{x^1}{x^n}$
	↓	Potenzgesetz: Potenzen gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert
	$=$	$\displaystyle x^{1-n}$

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$0{,}5x^2+1{,}5x^3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen
Dieser Term kann nicht weiter zusammengefasst werden, da unterschiedliche Potenzen auftreten. Man kann lediglich den Term anders darstellen, indem ausgeklammert wird. Hier kann $0{,}5x^2$ ausgeklammert werden.
$\displaystyle 0{,}5x^2+1{,}5x^3$ $=$
↓
$0{,}5x^2\;$ ausklammern.
$=$ $\displaystyle 0{,}5x^2\left(1+3x\right)$
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$\left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

Wende zuerst das Potenzgesetz an. Das Minus im Exponent in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird. $x^{-2}=\frac1{x^2}$

$\displaystyle \left(\frac{x^3y^{-4}}{y^{-5}y^2}\right)^{-2}$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y^{-5}y^2}{x^3y^{-4}}\right)^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Beim Multiplizieren die beiden Exponenten addieren.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y^{-5+2}}{x^3y^{-4}}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y^{-3}}{x^3y^{-4}}\right)^2$
	↓	Kürzen mit $y^{- 3}$
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{x^3y^{-1}}\right)^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden. Das Minus im Exponent von y in Plus setzen, indem der Bruch in einen Kehrbruch umgewandelt wird.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{y}{x^3}\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{y^2}{x^6}$

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$\left(2x^3\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzen

$\displaystyle \left(2x^3\right)^2$	$=$
	↓	Potenzgesetz : $\left(a\cdot b\right)^x=a^x\cdot b^x$
	$=$	$\displaystyle 2^2\cdot x^{3\cdot2}$
	$=$	$\displaystyle 4\cdot x^6$

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→ Was bedeutet das?

$\displaystyle 0{,}5x^2+1{,}5x^3$	$=$
	↓	$0{,}5x^2\;$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5x^2\left(1+3x\right)$