4Die Geradengleichung

Du weißt bereits, dass eine Gerade einen sogenannten Aufpunkt braucht, welcher die Gerade im Raum fixiert. Möchtest du nun die dazugehörige Geradengleichung aufstellen, gibt es $22$ Möglichkeiten. Entweder du hast $22$ Punkte, einen Aufpunkt und einen weiteren durch den du die Gerade legen möchtest, oder du hast einen Punkt und einen Vektor, also einen Aufpunkt und einen Vektor der dir bereits die Richtung deiner Gerade vorgibt.

1.Gerade durch zwei Punkte $AA$ und $BB$:

Wähle als Aufpunkt den Punkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$. Da die Gerade durch beide Punkte gehen soll, überlegst du dir wie du zu dem Punkt $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$ von $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ aus kommst. Dazu musst du zu A den Verbindungsvektor von $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$, nämlich $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ dazuzählen. Wenn du den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}\backslash vec\{AB\}$ $11$ mal dazu zählst, erhälst du den Punkt $\vec{B}\backslash vec\{B\}$, nachdem du aber eine Gerade durch $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und $\overrightarrow{B}\backslash overrightarrow\{B\}$ aufstellen möchtest addierst du den Verbindungsvektor beliebig oft dazu, denn so kannst du jeden Punkt auf der Gerade durch $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und $\overrightarrow{AB}\backslash overrightarrow\{AB\}$ erreichen. Das beliebigofte dazuzählen des Vektors drückst du durch eine Variable aus, also die Variable mal den Vektor. In der Regel nimmst du dafür Variablen wie $\lambda \backslash lambda$ oder $\mu \backslash mu$. Für die Variable darfst du Werte aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ einsetzen.

Die vollständige Geradengleichung lautet also:

$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}g:\backslash overrightarrow\{X\}=\backslash overrightarrow\{A\}+\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{AB\}$

2.Gerade durch einen Punkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und mit einem Richtungsvektor $\overrightarrow{v}\backslash overrightarrow\{v\}$:

Wähle wieder den Aufpunkt $\overrightarrow{A}\backslash overrightarrow\{A\}$ und addiere zu ihm $\lambda \backslash lambda$ mal den Richtungsvektor, denn so erreichst du alle Punkte die in der angegebenen Richtung gesucht sind, weil du für $\lambda \backslash lambda$ wieder alle Werte aus $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$einsetzen kannst.

$g:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{v}g:\backslash overrightarrow\{X\}=\backslash overrightarrow\{A\}+\backslash lambda\backslash cdot\; \backslash overrightarrow\{v\}$