Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

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Achtung Blender unterwegs!

Zwei PKWs B und C fahren einander nachts mit Fernlicht auf einer Landstraße entgegen, deren Verlauf durch die Funktion

p : p (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{7}{4}

gegeben ist.

Von wo aus blenden die Scheinwerfer der Fahrzeuge einen Beobachter, der sich am Punkt A(-2|2) befindet?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentensteigung

Die Lösungsidee:

Ein Fahrzeug blendet den Beobachter, wenn seine Scheinwerfer "direkt" auf ihn gerichtet sind. Das ist der Fall, wenn es sich an einem Parabelpunkt $(x_{0} | y_{0})$ befindet, dessen Tangente durch den Punkt A(-2|2) verläuft.

Erstelle die Tangente t im Punkt $(x_{0} | y_{0})$ an p.

$t : y = (x - x_{0}) \cdot p^{'} (x_{0}) + y_{0}$

Berechne p'(x).

$p^{'} (x) = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

Setze $p^{'} (x_{0})$ in t ein.

$t : y = (x - x_{0}) (- \frac{1}{2} x_{0} + \frac{1}{2}) + y_{0}$

Setze den Funktionswert $y_{0}$ ein.

$t : y = (x - x_{0}) (- \frac{1}{2} x_{0} + \frac{1}{2}) + (- \frac{1}{4} x_{0}^{2} + \frac{1}{2} x_{0} + \frac{7}{4})$

$t : y = - \frac{1}{2} x_{0} x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x_{0}^{2} - \frac{1}{2} x_{0} - \frac{1}{4} x_{0}^{2} + \frac{1}{2} x_{0} + \frac{7}{4}$

Fasse zusammen und unterscheide dabei die Variable x und den festen Wert

$t : y = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} x_{0}) x + (\frac{1}{4} x_{0}^{2} + \frac{7}{4})$

Setze die Koordinaten (-2|2) von A ein, damit t durch A verläuft.

$2 = \frac{1}{2} (1 - x_{0}) \cdot (- 2) + (\frac{1}{4} x_{0}^{2} + \frac{7}{4})$

Bringe die quadratische Gleichung für $x_{0}$ in die übliche Normalform.

$\frac{1}{4} x_{0}^{2} + x_{0} - \frac{5}{4} = 0$

Multipliziere auf beiden Seiten mit 4.

$x_{0}^{2} + 4 x_{0} - 5 = 0$

Löse die Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel.

x_{0} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}

$x_{0}^{'} = - 5 und x_{0}^{^{''}} = 1$

Setze beide Werte jeweils in $p (x)$ ein.

p (- 5) = - 7

p (+ 1) = + 2

Ergebnis: Der linke PKW blendet den Beobachter vom Punkt (-5|-7) aus, der rechte PKW vom Punkt (1|2) aus.

Bestätige das Rechenergebnis graphisch am folgenden Geogebra-Applet, indem du die Gleiterpunkte B und C verschiebst!

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