Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}$

Bilde die erste Ableitung.

$f'(x)=-3\cdot x^{-4}=-\frac3{x^4}$

$f(x)=\frac2{x^2}+x^{-7}=2x^{-2}+x^{-7}$

Hier wurde das Potenzgesetz angewendet, um die Funktion umzuformen. Leite nun ab:

$f'\left(x\right)=-4x^{-3}-7x^{-8}=-\frac4{x^3}-\frac7{x^8}$

$f(x)=e^{-x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f'(x)=-e^{-x}$

$f(x)=e^{2x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die $2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f'(x)=2e^{2x}$

$f(x)=e^{x^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $2x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $x²$.

$f'(x)=2\mathrm{xe}^{x^2}$

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

$f(x)=e^{\sqrt x}$

Bilde die erste Ableitung. Die $\frac12\cdot\frac1{\sqrt x}$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\sqrt x$.

$f'(x)=\frac12\cdot\frac1{\sqrt x}\cdot e^{\sqrt x}$

Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:

$f'(x)=\frac1{2\sqrt x}e^{\sqrt x}$



Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac12x}$

Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die $1/2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f'\left(x\right)=\frac12\cdot e^{\frac12x}=\frac12\cdot\sqrt{e^x}$

Die äußere Funktion ist $u(x) =e^x$.

Die innere Funktion ist $v(x)=sinx+cosx$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $v´(x)= cosx-sinx$.

Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.

$f'(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot\left(\cos x-\sin x\right)$

$f(x)=e^{-\frac12x^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $-x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\frac 1 2 \cdot x²$.

$f'(x)=-2\cdot\frac12\cdot x\cdot e^{-\frac12x^2}= -x \cdot e^{- \frac 1 2 \cdot x^2}$= 

$f(x)=\dfrac1{\sqrt[3]{e^x}}$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x) =\dfrac1{e^{\frac 1 3 \cdot x}}$

Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.

$f(x)=e^{-\dfrac 1 3 \cdot x}$

$f'\left(x\right)=-\frac1 3\cdot e^{-\frac 1 3 x}$

Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.

$=-\dfrac1{3\cdot\sqrt[3]{e^x}}$

$f\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}$

Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren $u(x)=x^2$ und $v(x)=e^{-\sqrt x}$. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren $u(x)$ und $v(x)$.

$u'(x)=2x$

Zur Berechnung von $v'(x)$ benötigst du die Kettenregel.

$v'(x)=-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}$

Wende nun die Produktregel an.

$f'\left(x\right)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)= 2x\cdot e^{-\sqrt x}+x^2\cdot\left(-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}\right)$

Löse die Klammer auf.

$=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^2\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}$

Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil $x^2$ mit $x^{- \frac 1 2}$.

$=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt x}$

Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. $e^{-\sqrt x}$ ausklammern.

$= e^{-\sqrt x} \cdot ( 2x-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}})$

Bilde die erste Ableitung.

$f'(x)=1+\frac1x$

Leite ab, indem du die Produktregel nutzt. Es müssen die Ableitung von $u(x)=x$ und $v(x)= \ln x$ gebildet werden.

$u'=1$

$v'=\frac1x$

$f'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x =\ln x+1$

Bilde die erste Ableitung.

$f'(x)=(-1)\cdot\frac1{(-x)}=\frac1x$

Bilde die erste Ableitung

$f'(x)=-\frac{1}{2x} \cdot 2 = -\frac1x$

Kettenregel anwenden.

$f'(x)=\frac1x\cdot2\cdot\mathrm{lnx}=\frac{2\cdot \ln x}{x}$

$f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{x}\right)=\ln\left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot\ln x$

Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(x)=\sqrt{\ln x}=\left(\mathrm{\ln x}\right)^\frac12$

$u(x)=x^\frac12$

$v(x)=\ln(x)$

$u'(x)=\dfrac12\cdot x^{\frac12-1}=\dfrac12\cdot x^{-\frac12}=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt x}$

$v'(x)=\dfrac1x$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f(x)=\ln\left[2+\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\right]$

Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des $\ln$ nach.

$f(x)=2x - \left(\ln (2-2\cdot\mathrm{e^x})\right)^2$

Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden.

$f(x)=\ln^2(x)=\ln(\ln x)$

Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).

$f'\left(x\right)=\frac1{\ln x}\cdot\frac1x\\=\frac1{\ln x\;\cdot\; x}$

$f(x)=\frac12x^2\left(\ln x-\frac12\right)$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.

$f(x)= \ln\left(\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}\right)\\=\frac{1}{3}\left[\ln(e^{3x})-\ln(1+e^{3x})\right]\\=\frac 13 \cdot 3x -\frac 13 \ln (1+e^{3x})$

$f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}\right)$

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

$f(\mathrm x)=\ln\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)$

Den ersten Term vereinfachen.

$f(\mathrm x)=-\mathrm x-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)$

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

$f'(\mathrm x)=-1-\frac{-\mathrm e^{-\mathrm x}}{\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)}$

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

$=-\frac{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}+\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}=\frac{-1}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}$

Die Brüche addieren.

$f(x)=\ln(e^x+e^{-x})$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f'(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}\cdot(e^x-e^{-x})$

$=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

$f(x)=\ln(1+e^x)$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .

$f'(x)=\dfrac{1}{1+e^x}\cdot e^x=\dfrac{e^x}{e^x+1}$

$f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)$

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f'(x)=\frac1{\mathrm{logx}}\cdot\frac1x\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}}\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}\cdot\frac1x$

Nun wende die Logarithmusformel an: $\log x=\frac{\ln\;x}{\ln\;10}$

$=\frac{\ln10}{\ln x \;\cdot\;x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}\;\cdot\; x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}$

$=\frac{\ln10-1}{\ln x\;\cdot\; x\; \cdot\;\mathrm{ln10}}$

$f(x)=\ln(e^x)=x$

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.

$f'\left(x\right)=1$

Zunächst stellen wir den Definitionsbereich fest: da $e$ keine ganze Zahl ist, ist der Ausdruck $x^e$ nur für positive $x$ definiert und positiv. Da wir dann den Logarithmus anwenden können, besteht der Definitionsbereich aus dem Intervall $(0,\infty)$.

$f(\mathrm x)=\ln(\mathrm x^\mathrm e)$

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(\mathrm x)=\;\mathrm e\cdot\ln(\mathrm x)$

Wende die Ableitungsregel für den $\ln$ an.

$f'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}$

$f'\left( x\right)=\; e\cdot\dfrac1{x}=\dfrac{ e}{ x}$

$f(x)=\sin(\ln x)$

Leite mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f'\left(x\right)=\cos\left(\ln x\right)\cdot\frac1x$

$f(x)=x \ln x-x$

Berechne die Ableitung von u ($x$) und v ($\ln x$).

$u'(x)=1,\;\; v'(x)=\frac1x$

f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.

$f'\left(x\right)=x\cdot\frac1x+1\cdot\ln x-1$

$=1+\ln x-1=\ln x$

Ableitung berechnen

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$f(x)=x^3\ln x-\frac13x^3$

Wende zum Ableiten des ersten Summanden die Produktregel an.

$f'(x)=3x^2\cdot\ln x+x^3\cdot\frac1x-x^2$

Kürze den zweiten Summanden mit x.

$=3x^2\cdot\ln x+x^2-x^2=3x^2\cdot \ln x$

$f(x)=x\left(\ln x\right)^2-2x\ln x+2x$

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den $\ln$ an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den $\ln$ .

$f'\left(x\right)=\left[1\cdot\left(\ln x\right)^2+x\cdot2\ln x\cdot\frac1x\right]-\left[2\ln x+2x\cdot\frac1x\right]+2$

Multipliziere aus und vereinfache.

$=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-\left[2\ln x+2\right]+2$

$=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-2\ln x-2+2$

$=\left(\ln x\right)^2$

$f(x)=\frac13\left(\ln x\right)^3$