Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

$f(x)=\frac{1}{x^3}=x^{-3}f(x)=\backslash frac\{1\}\{x^3\}=x^\{-3\}$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3\cdot x^{-4}=-\frac{3}{x^4}f\text{'}(x)=-3\backslash cdot\; x^\{-4\}=-\backslash frac3\{x^4\}$

$f(x)=\frac{2}{x^2}+x^{-7}=2x^{-2}+x^{-7}f(x)=\backslash frac2\{x^2\}+x^\{-7\}=2x^\{-2\}+x^\{-7\}$

Hier wurde das Potenzgesetz angewendet, um die Funktion umzuformen. Leite nun ab:

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-4x^{-3}-7x^{-8}=-\frac{4}{x^3}-\frac{7}{x^8}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-4x^\{-3\}-7x^\{-8\}=-\backslash frac4\{x^3\}-\backslash frac7\{x^8\}$

$f(x)=e^{-x}f(x)=e^\{-x\}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}f\text{'}(x)=-e^\{-x\}$

$f(x)=e^{2x}f(x)=e^\{2x\}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die $22$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{2x}f\text{'}(x)=2e^\{2x\}$

$f(x)=e^{x^2}f(x)=e^\{x^2\}$

Bilde die erste Ableitung. Die $2x2x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $x^{2}x²$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2{\mathrm{x}\mathrm{e}}^{x^2}f\text{'}(x)=2\backslash mathrm\{xe\}^\{x^2\}$

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

$f(x)=e^{\sqrt{x}}f(x)=e^\{\backslash sqrt\; x\}$

Bilde die erste Ableitung. Die $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\backslash frac12\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash sqrt\; x\}$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\sqrt{x}\backslash sqrt\; x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}f\text{'}(x)=\backslash frac12\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash sqrt\; x\}\backslash cdot\; e^\{\backslash sqrt\; x\}$

Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}f\text{'}(x)=\backslash frac1\{2\backslash sqrt\; x\}e^\{\backslash sqrt\; x\}$



Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{2}x}f(x)=\backslash sqrt\{e^x\}=e^\{\backslash frac12x\}$

Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die $1\mathrm{/}21/2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{e^x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac12\backslash cdot\; e^\{\backslash frac12x\}=\backslash frac12\backslash cdot\backslash sqrt\{e^x\}$

Die äußere Funktion ist $u(x)=e^{x}u(x)\; =e^x$.

Die innere Funktion ist $v(x)=sinx+cosxv(x)=sinx+cosx$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $v\text{´}(x)=cosx-sinxv´(x)=\; cosx-sinx$.

Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot (\cos x-\sin x)f\text{'}(x)=e^\{\backslash sin\; x+\backslash cos\; x\}\backslash cdot\backslash left(\backslash cos\; x-\backslash sin\; x\backslash right)$

$f(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}f(x)=e^\{-\backslash frac12x^2\}$

Bilde die erste Ableitung. Die $-x-x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\frac{1}{2}\cdot x^2\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash cdot\; x²$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}f\text{'}(x)=-2\backslash cdot\backslash frac12\backslash cdot\; x\backslash cdot\; e^\{-\backslash frac12x^2\}=\; -x\; \backslash cdot\; e^\{-\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash cdot\; x^2\}$= 

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}}f(x)=\backslash dfrac1\{\backslash sqrt[3]\{e^x\}\}$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^{\frac{1}{3}\cdot x}}}f(x)\; =\backslash dfrac1\{e^\{\backslash frac\; 1\; 3\; \backslash cdot\; x\}\}$

Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.

$f(x)=e^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot x}f(x)=e^\{-\backslash dfrac\; 1\; 3\; \backslash cdot\; x\}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-\frac{1}{3}x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-\backslash frac1\; 3\backslash cdot\; e^\{-\backslash frac\; 1\; 3\; x\}$

Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.

$=-{\displaystyle \frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{e^x}}}=-\backslash dfrac1\{3\backslash cdot\backslash sqrt[3]\{e^x\}\}$

$f\left(x\right)=x^2{e}^{-\sqrt{x}}f\backslash left(x\backslash right)=x^2e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren $u(x)=x^{2}u(x)=x^2$ und $v(x)=e^{-\sqrt{x}}v(x)=e^\{-\backslash sqrt\; x\}$. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren $u(x)u(x)$ und $v(x)v(x)$.

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=2xu\text{'}(x)=2x$

Zur Berechnung von $v^{\mathrm{\prime }}(x)v\text{'}(x)$ benötigst du die Kettenregel.

$v^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}v\text{'}(x)=-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Wende nun die Produktregel an.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}+x^2\cdot (-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}})f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=u\text{'}(x)\; \backslash cdot\; v(x)\; +\; u(x)\; \backslash cdot\; v\text{'}(x)=\; 2x\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}+x^2\backslash cdot\backslash left(-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}\backslash right)$

Löse die Klammer auf.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}=2x\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}-\backslash frac12\backslash cdot\; x^2\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil $x^{2}x^2$ mit $x^{-\frac{1}{2}}x^\{-\; \backslash frac\; 1\; 2\}$.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}=2x\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. $e^{-\sqrt{x}}e^\{-\backslash sqrt\; x\}$ ausklammern.

$=e^{-\sqrt{x}}\cdot (2x-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}})=\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}\; \backslash cdot\; (\; 2x-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\})$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+\frac{1}{x}f\text{'}(x)=1+\backslash frac1x$

Leite ab, indem du die Produktregel nutzt. Es müssen die Ableitung von $u(x)=xu(x)=x$ und $v(x)=\ln xv(x)=\; \backslash ln\; x$ gebildet werden.

$u^{\mathrm{\prime }}=1u\text{'}=1$

$v^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{x}v\text{'}=\backslash frac1x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1f\text{'}(x)=\backslash ln\; x+x\backslash cdot\backslash frac1x\; =\backslash ln\; x+1$

Bilde die erste Ableitung.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(-1)\cdot \frac{1}{(-x)}=\frac{1}{x}f\text{'}(x)=(-1)\backslash cdot\backslash frac1\{(-x)\}=\backslash frac1x$

Bilde die erste Ableitung

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2x}\cdot 2=-\frac{1}{x}f\text{'}(x)=-\backslash frac\{1\}\{2x\}\; \backslash cdot\; 2\; =\; -\backslash frac1x$

Kettenregel anwenden.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x}\cdot 2\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{x}=\frac{2\cdot \ln x}{x}f\text{'}(x)=\backslash frac1x\backslash cdot2\backslash cdot\backslash mathrm\{lnx\}=\backslash frac\{2\backslash cdot\; \backslash ln\; x\}\{x\}$

$f\left(x\right)=\ln \left(\sqrt{x}\right)=\ln \left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot \ln xf\backslash left(x\backslash right)=\backslash ln\backslash left(\backslash sqrt\{x\}\backslash right)=\backslash ln\backslash left(x^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash right)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash ln\; x$

Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(x)=\sqrt{\ln x}={\left(\ln \mathrm{x}\right)}^{\frac{1}{2}}f(x)=\backslash sqrt\{\backslash ln\; x\}=\backslash left(\backslash mathrm\{\backslash ln\; x\}\backslash right)^\backslash frac12$

$u(x)=x^{\frac{1}{2}}u(x)=x^\backslash frac12$

$v(x)=\ln (x)v(x)=\backslash ln(x)$

$u^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x^{-\frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}u\text{'}(x)=\backslash dfrac12\backslash cdot\; x^\{\backslash frac12-1\}=\backslash dfrac12\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}=\backslash dfrac1\{2\}\backslash cdot\; \backslash dfrac1\{\backslash sqrt\; x\}$

$v^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}v\text{'}(x)=\backslash dfrac1x$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f(x)=\ln [2+\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})]f(x)=\backslash ln\backslash left[2+\backslash frac12\backslash left(e^x+e^\{-x\}\backslash right)\backslash right]$

Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des $\ln \backslash ln$ nach.

$f(x)=2x-{(\ln (2-2\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}))}^{2}f(x)=2x\; -\; \backslash left(\backslash ln\; (2-2\backslash cdot\backslash mathrm\{e^x\})\backslash right)^2$

Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden.

$f(x)={\ln }^2(x)=\ln (\ln x)f(x)=\backslash ln^2(x)=\backslash ln(\backslash ln\; x)$

Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{\ln x\cdot x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac1\{\backslash ln\; x\}\backslash cdot\backslash frac1x\backslash \backslash =\backslash frac1\{\backslash ln\; x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\; x\}$

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2(\ln x-\frac{1}{2})f(x)=\backslash frac12x^2\backslash left(\backslash ln\; x-\backslash frac12\backslash right)$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.

$f(x)=\ln \left(\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}\right)=\frac{1}{3}[\ln (e^{3x})-\ln (1+e^{3x})]=\frac{1}{3}\cdot 3x-\frac{1}{3}\ln (1+e^{3x})f(x)=\; \backslash ln\backslash left(\backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{e^\{3x\}\}\{1+e^\{3x\}\}\}\backslash right)\backslash \backslash =\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash left[\backslash ln(e^\{3x\})-\backslash ln(1+e^\{3x\})\backslash right]\backslash \backslash =\backslash frac\; 13\; \backslash cdot\; 3x\; -\backslash frac\; 13\; \backslash ln\; (1+e^\{3x\})$

$f(\mathrm{x})=\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\right)f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\backslash right)$

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

$f(\mathrm{x})=\ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ln\backslash left(\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)-\backslash ln\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)$

Den ersten Term vereinfachen.

$f(\mathrm{x})=-\mathrm{x}-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})f(\backslash mathrm\; x)=-\backslash mathrm\; x-\backslash ln\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)$

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

$f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{x})=-1-\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{(1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})}f\text{'}(\backslash mathrm\; x)=-1-\backslash frac\{-\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)\}$

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

$=-\frac{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}+\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}=-\backslash frac\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}+\backslash frac\{\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}=\backslash frac\{-1\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}$

Die Brüche addieren.

$f(x)=\ln (e^x+e^{-x})f(x)=\backslash ln(e^x+e^\{-x\})$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}\cdot (e^x-e^{-x})f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{e^x+e^\{-x\}\}\backslash cdot(e^x-e^\{-x\})$

$={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}=\backslash dfrac\{e^x-e^\{-x\}\}\{e^x+e^\{-x\}\}$

$f(x)=\ln (1+e^x)f(x)=\backslash ln(1+e^x)$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\cdot e^x={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{1+e^x\}\backslash cdot\; e^x=\backslash dfrac\{e^x\}\{e^x+1\}$

$f(x)=\ln (\log x)-\log (\ln x)f(x)=\backslash ln(\backslash log\; x)-\backslash log(\backslash ln\; x)$

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}}\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}10}-\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{x}}\cdot \frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}10}\cdot \frac{1}{x}f\text{'}(x)=\backslash frac1\{\backslash mathrm\{logx\}\}\backslash cdot\backslash frac1x\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\{ln10\}\}-\backslash frac1\{\backslash mathrm\{lnx\}\}\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\{ln10\}\}\backslash cdot\backslash frac1x$

Nun wende die Logarithmusformel an: $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}\backslash log\; x=\backslash frac\{\backslash ln\backslash ;x\}\{\backslash ln\backslash ;10\}$

$=\frac{\ln 10}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}10}-\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{x}\cdot x\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}10}=\backslash frac\{\backslash ln10\}\{\backslash ln\; x\; \backslash ;\backslash cdot\backslash ;x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash mathrm\{ln10\}\}-\backslash frac1\{\backslash mathrm\{lnx\}\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\; x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash mathrm\{ln10\}\}$

$=\frac{\ln 10-1}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}10}=\backslash frac\{\backslash ln10-1\}\{\backslash ln\; x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\; x\backslash ;\; \backslash cdot\backslash ;\backslash mathrm\{ln10\}\}$

$f(x)=\ln (e^x)=xf(x)=\backslash ln(e^x)=x$

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=1f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=1$

Zunächst stellen wir den Definitionsbereich fest: da $ee$ keine ganze Zahl ist, ist der Ausdruck $x^{e}x^e$ nur für positive $xx$ definiert und positiv. Da wir dann den Logarithmus anwenden können, besteht der Definitionsbereich aus dem Intervall $(0,\mathrm{\infty })(0,\backslash infty)$.

$f(\mathrm{x})=\ln ({\mathrm{x}}^{\mathrm{e}})f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ln(\backslash mathrm\; x^\backslash mathrm\; e)$

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(\mathrm{x})=\mathrm{e}\cdot \ln (\mathrm{x})f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ;\backslash mathrm\; e\backslash cdot\backslash ln(\backslash mathrm\; x)$

Wende die Ableitungsregel für den $\ln \backslash ln$ an.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}\cdot \frac{1}{\mathrm{x}}f\text{'}\backslash left(\backslash mathrm\; x\backslash right)=\backslash ;\backslash mathrm\; e\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\; x\}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{e}{x}}f\text{'}\backslash left(\; x\backslash right)=\backslash ;\; e\backslash cdot\backslash dfrac1\{x\}=\backslash dfrac\{\; e\}\{\; x\}$

$f(x)=\sin (\ln x)f(x)=\backslash sin(\backslash ln\; x)$

Leite mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash cos\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash frac1x$

$f(x)=x\ln x-xf(x)=x\; \backslash ln\; x-x$

Berechne die Ableitung von u ($xx$) und v ($\ln x\backslash ln\; x$).

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=1,v^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x}u\text{'}(x)=1,\backslash ;\backslash ;\; v\text{'}(x)=\backslash frac1x$

f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x\cdot \frac{1}{x}+1\cdot \ln x-1f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=x\backslash cdot\backslash frac1x+1\backslash cdot\backslash ln\; x-1$

$=1+\ln x-1=\ln x=1+\backslash ln\; x-1=\backslash ln\; x$

Ableitung berechnen

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$f(x)=x^3\ln x-\frac{1}{3}{x}^{3}f(x)=x^3\backslash ln\; x-\backslash frac13x^3$

Wende zum Ableiten des ersten Summanden die Produktregel an.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\cdot \ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}-x^{2}f\text{'}(x)=3x^2\backslash cdot\backslash ln\; x+x^3\backslash cdot\backslash frac1x-x^2$

Kürze den zweiten Summanden mit x.

$=3x^2\cdot \ln x+x^2-x^2=3x^2\cdot \ln x=3x^2\backslash cdot\backslash ln\; x+x^2-x^2=3x^2\backslash cdot\; \backslash ln\; x$

$f(x)=x{(\ln x)}^2-2x\ln x+2xf(x)=x\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2-2x\backslash ln\; x+2x$

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den $\ln \backslash ln$ an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den $\ln \backslash ln$ .

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=[1\cdot {(\ln x)}^2+x\cdot 2\ln x\cdot \frac{1}{x}]-[2\ln x+2x\cdot \frac{1}{x}]+2f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash left[1\backslash cdot\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+x\backslash cdot2\backslash ln\; x\backslash cdot\backslash frac1x\backslash right]-\backslash left[2\backslash ln\; x+2x\backslash cdot\backslash frac1x\backslash right]+2$

Multipliziere aus und vereinfache.

$={(\ln x)}^2+2\ln x-[2\ln x+2]+2=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+2\backslash ln\; x-\backslash left[2\backslash ln\; x+2\backslash right]+2$

$={(\ln x)}^2+2\ln x-2\ln x-2+2=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+2\backslash ln\; x-2\backslash ln\; x-2+2$

$={(\ln x)}^2=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2$

$f(x)=\frac{1}{3}{(\ln x)}^{3}f(x)=\backslash frac13\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3$

Wende die Kettenregel zum Ableiten an und differenziere mit der Ableitung von ln(x) nach.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot (\ln x{)}^2\cdot \frac{1}{x}f\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; (\backslash ln\; x)^2\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{x\}$

$=\frac{(\ln x{)}^2}{x}=\backslash frac\{(\backslash ln\; x)^2\}\{x\}$

$f(x)=x[{(\ln x)}^3-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6]f(x)=x\backslash left[\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3-3(\backslash ln\; x)^2+6\backslash ln\; x-6\backslash right]$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von $u=xu=x$ und $v=-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6v=-3(\backslash ln\; x)^2+6\backslash ln\; x-6$ gebildet werden.

$u^{\mathrm{\prime }}=1u\text{'}=1$

$v^{\mathrm{\prime }}=3{(\ln x)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2(\ln x)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}v\text{'}=3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2\backslash cdot\backslash frac1x-3\backslash cdot2\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash frac1x+6\backslash cdot\backslash frac1x$

Um $vv$ abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von $\ln x\backslash ln\; x$  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von $\ln x\backslash ln\; x$ berechnet werden.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=1\cdot [{(\ln x)}^3-3{(\ln x)}^2+6(\ln x)-6]f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=1\backslash cdot\backslash left[\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3-3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+6\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)-6\backslash right]$  

$+x\cdot [3{(\ln x)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2(\ln x)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}]+x\backslash cdot\backslash left[3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2\backslash cdot\backslash frac1x-3\backslash cdot2\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash frac1x+6\backslash cdot\backslash frac1x\backslash right]$

Multipliziere nun die Klammern aus.

$={(\ln x)}^3-3{(\ln x)}^2+6(\ln x)-6+3{(\ln x)}^2-6(\ln x)+6=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3-3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+6\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)-6+3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2-6\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)+6$