Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

Leite folgende Funktionen mit Logarithmus ab.

$f (x) = x + \ln x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bilde die erste Ableitung.
$f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{x}$
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$f (x) = x \cdot \ln x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Leite ab, indem du die Produktregel nutzt. Es müssen die Ableitung von $u (x) = x$ und $v (x) = \ln x$ gebildet werden.
$u^{'} = 1$
$v^{'} = \frac{1}{x}$
$f^{'} (x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
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$f (x) = \ln (- x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bilde die erste Ableitung.
$f^{'} (x) = (- 1) \cdot \frac{1}{(- x)} = \frac{1}{x}$
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$f (x) = - \ln (2 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bilde die erste Ableitung
$f^{'} (x) = - \frac{1}{2 x} \cdot 2 = - \frac{1}{x}$
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$f (x) = \ln (x^{2})$ für $x \in ℝ ∖ {0}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zerlege zunächst $f (x)$ in $u (x)$ und $v (x)$ .
$u (x) = \ln (x)$ und $v (x) = x^{2}$ .
Dann ist $f (x) = u (v (x)) = u (x^{2}) = \ln (x^{2})$ .
Berechne die Ableitung von $u (x)$ und $v (x)$ .
Es gilt: $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ und $v^{'} (x) = 2 x$
Jetzt kannst du $f (x)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
$f^{'} (x) = {(u (v (x)))}^{'} = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) = u^{'} (x^{2}) \cdot v^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x = \frac{2}{x}$
Diese ist für alle $x \in ℝ ∖ {0}$ definiert.
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Um $f (x)$ ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist und wie du die natürliche logarithmus Funktion $\ln (x)$ ableiten kannst.
$f (x) = (\ln x)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Kettenregel anwenden.
$f^{'} (x) = \frac{1}{x} \cdot 2 \cdot lnx = \frac{2 \cdot \ln x}{x}$
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$f (x) = \ln \sqrt{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f (x) = \ln (\sqrt{x}) = \ln (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot \ln x$
Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.
In dieser Form kannst du die Ableitung der Funktion mit der Faktorregel berechnen:
$f^{'} (x) = (\frac{1}{2} \cdot \ln x)^{'} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$
Das fasst du noch zusammen und erhältst als Ergebnis:
$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$
Anmerkung: Die Faktorregel ist ein Spezialfall der Produktregel. Du kannst die Ableitung daher natürlich auch mit der Produktregel berechnen
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$f (x) = \sqrt{\ln x}$ für $x \in ℝ, x > 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um $f$ ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion $\ln (x)$ ableiten kannst.
Schreibe die Wurzel als Potenz.
$f (x) = \sqrt{\ln x} = {(\ln x)}^{\frac{1}{2}}$
Zerlege zunächst $f (x)$ in $u (x)$ und $v (x)$ :
$u (x) = x^{\frac{1}{2}}$
$v (x) = \ln (x)$
Dann ist $f (x) = u (v (x)) = u (\ln (x)) = (\ln (x))^{\frac{1}{2}}$ .
Berechne die Ableitung von $u (x)$ und $v (x)$ :
$u^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$
$v^{'} (x) = \frac{1}{x}$
Jetzt kannst du $f (x)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
$\begin{array}{l} f^{'} (x) = {(u (v (x)))}^{'} \\ = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = u^{'} (\ln (x)) \cdot v^{'} (x) \\ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\ln (x)}} \cdot \frac{1}{x} \end{array}$ .
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$f (x) = \ln (\sin x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.
Erst die äußere Ableitung (die äußere Funktion $\ln (x)$ ableiten) bilden und die innere Funktion einsetzen. Dann noch Nachdifferenzieren, also mal die innere Ableitung (innere Funktion $\sin (x)$ ableiten) nehmen.
$f^{'} (x)$ $=$ ${[\ln (\sin (x))]}^{'}$
$=$ $\frac{{(\sin (x))}^{'}}{\sin (x)}$
$=$ $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$
↓
(Kotangens) $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x)$
$=$ $\cot (x)$
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$f (x) = \ln (\frac{1 + e^{x}}{1 - e^{x}})$

$f (x) = \ln [2 + \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})]$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f (x) = \ln [2 + \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})]$
Wende die Ableitungsregel für den ln an. Das Argument des ln ist dann der Nenner eines Bruches mit dem Zähler 1. Differenziere dann mit der Ableitung des Arguments des $\ln$ nach.
$f^{'} (x)$ $=$ $\frac{1}{2 + \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})} \cdot \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$
↓
Kürze Zähler und Nenner des Bruches mit $\frac{1}{2}$ .
$=$ $\frac{e^{x} - e^{- x}}{4 + e^{x} + e^{- x}}$
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$f (x) = 2 x - {(\ln (2 - 2 \cdot e^{x}))}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f (x) = 2 x - {(\ln (2 - 2 \cdot e^{x}))}^{2}$
Zum Ableiten des zweiten Elements zwei mal die Kettenregel anwenden.
$f^{'} (x)$ $=$ $2 - 2 \cdot \ln (2 - 2 e^{x}) \cdot \frac{1}{2 - 2 e^{x}} \cdot (- 2 e^{x})$
$=$ $2 - \frac{2 \cdot \ln (2 - 2 e^{x}) \cdot (- 2 e^{x})}{2 - 2 e^{x}}$
↓
Mit 2 kürzen.
$=$ $2 + \frac{\ln (2 - 2 e^{x}) \cdot 2 e^{x}}{1 - e^{x}}$
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$f (x) = \ln (\ln x)$ für $x \in ℝ, x > 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f (x) = \ln^{2} (x) = \ln (\ln x)$
Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).
$\begin{array}{l} f^{'} (x) = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{\ln x \cdot x} \end{array}$
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$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} (\ln x - \frac{1}{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} (\ln x - \frac{1}{2})$
Wende die Produktregel zum Ableiten an. Für den zweiten Faktor wird die Ableitungsregel des ln benötigt.
$f^{'} (x)$ $=$ $x \cdot (\ln x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x}$
↓
Multipliziere die Klammer aus und kürze ein $x$ im zweiten Summanden.
$=$ $x \cdot \ln x - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$
$=$ $x \cdot \ln x$
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$f (x) = \ln \sqrt[3]{\frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}}}$ für $x \in ℝ$

Erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen
$\begin{array}{l} f (x) = \ln (\sqrt[3]{\frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}}}) \\ = \frac{1}{3} [\ln (e^{3 x}) - \ln (1 + e^{3 x})] \\ = \frac{1}{3} \cdot 3 x - \frac{1}{3} \ln (1 + e^{3 x}) \end{array}$
Zweiter Schritt, die Ableitung bilden
$f (x) = x - \frac{1}{3} \ln (1 + e^{3 x})$
Wende die Kettenregel an.
$f^{'} (x)$ $=$ $1 - \frac{1}{3} \frac{1}{1 + e^{3 x}} 3 e^{3 x}$
↓
Kürze den 2.Term.
$=$ $1 - \frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}}$
↓
Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.
$=$ $\frac{1 + e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} - \frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{1}{1 + e^{3 x}}$
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$f^{'} (x)$	$=$	${[\ln (\sin (x))]}^{'}$
	$=$	$\frac{{(\sin (x))}^{'}}{\sin (x)}$
	$=$	$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$
	↓	(Kotangens) $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x)$
	$=$	$\cot (x)$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \cdot \frac{e^{x} \cdot (1 - e^{x}) - (1 + e^{x}) \cdot (- e^{x})}{{(1 - e^{x})}^{2}}$
	↓	Nun kürzt du und musmultiplizierst aus im Zähler.
	$=$	$\frac{1}{1 + e^{x}} \cdot \frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{x} + e^{2 x}}{(1 - e^{x})}$
	↓	Nun fasst du im Zähler zusammenfassen. Im Nenner wendest du die binomische Formel an.
	$=$	$\frac{2 e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$\frac{1}{2 + \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})} \cdot \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$
	↓	Kürze Zähler und Nenner des Bruches mit $\frac{1}{2}$ .
	$=$	$\frac{e^{x} - e^{- x}}{4 + e^{x} + e^{- x}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$2 - 2 \cdot \ln (2 - 2 e^{x}) \cdot \frac{1}{2 - 2 e^{x}} \cdot (- 2 e^{x})$
	$=$	$2 - \frac{2 \cdot \ln (2 - 2 e^{x}) \cdot (- 2 e^{x})}{2 - 2 e^{x}}$
	↓	Mit 2 kürzen.
	$=$	$2 + \frac{\ln (2 - 2 e^{x}) \cdot 2 e^{x}}{1 - e^{x}}$

$f^{'} (x)$	$=$	$x \cdot (\ln x - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} x^{2} \cdot \frac{1}{x}$
	↓	Multipliziere die Klammer aus und kürze ein $x$ im zweiten Summanden.
	$=$	$x \cdot \ln x - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x$
	$=$	$x \cdot \ln x$

$f^{'} (x)$	$=$	$1 - \frac{1}{3} \frac{1}{1 + e^{3 x}} 3 e^{3 x}$
	↓	Kürze den 2.Term.
	$=$	$1 - \frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}}$
	↓	Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.
	$=$	$\frac{1 + e^{3 x}}{1 + e^{3 x}} - \frac{e^{3 x}}{1 + e^{3 x}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{1}{1 + e^{3 x}}$

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Erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen

Zweiter Schritt, die Ableitung bilden

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