Zerlege zunächst $f(x)f(x)$ in $u(x)u(x)$ und $v(x)v(x)$.

$u(x)=\ln (x)u(x)=\backslash ln(x)$ und $v(x)=x^{2}v(x)=x^2$.

Dann ist $f(x)=u(v(x))=u(x^2)=\ln (x^2)f(x)=u(v(x))=u(x^2)=\backslash ln(x^2)$.

Berechne die Ableitung von $u(x)u(x)$ und $v(x)v(x)$.

Es gilt:$u^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}u\text{'}(x)=\backslash dfrac1x$ und $v^{\mathrm{\prime }}(x)=2xv\text{'}(x)=2x$

Jetzt kannst du $f(x)f(x)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

Diese ist für alle $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}x\backslash in\; \backslash mathbb\; R\backslash setminus\; \backslash \{0\backslash \}$ definiert.

In dieser Form kannst du die Ableitung der Funktion mit der Faktorregel berechnen:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(\frac{1}{2}\cdot \ln x{)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x}f\text{'}(x)=\; (\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash ln\; x)\text{'}=\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{x\}$

Das fasst du noch zusammen und erhältst als Ergebnis:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2x}f\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{2x\}$

Anmerkung: Die Faktorregel ist ein Spezialfall der Produktregel. Du kannst die Ableitung daher natürlich auch mit der Produktregel berechnen

Um $ff$ ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion $\ln (x)\backslash ln(x)$ ableiten kannst.

Schreibe die Wurzel als Potenz.

Zerlege zunächst $f(x)f(x)$ in $u(x)u(x)$ und $v(x)v(x)$:

Dann ist $f(x)=u(v(x))=u(\ln (x))=(\ln (x){)}^{\frac{1}{2}}f(x)=u(v(x))=u(\backslash ln(x))=(\backslash ln(x))^\backslash frac12$.

Berechne die Ableitung von $u(x)u(x)$ und $v(x)v(x)$:

Jetzt kannst du $f(x)f(x)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={(u(v(x)))}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}(v(x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)=u^{\mathrm{\prime }}(\ln (x))\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\ln (x)}}\cdot \frac{1}{x}f\text{'}(x)=\backslash left(u(v(x))\backslash right)\text{'}\backslash \backslash =u\text{'}(v(x))\backslash cdot\; v\text{'}(x)\backslash \backslash =u\text{'}\backslash left(\backslash ln(x)\backslash right)\backslash cdot\; v\text{'}(x)\backslash \backslash =\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{\backslash ln(x)\}\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{x\}$.

Erst die äußere Ableitung (die äußere Funktion $\ln (x)\backslash ln(x)$ ableiten) bilden und die innere Funktion einsetzen. Dann noch Nachdifferenzieren, also mal die innere Ableitung (innere Funktion $\sin (x)\backslash sin(x)$ ableiten) nehmen.

$f(x)=\ln \left(\frac{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)f(x)=\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{1+\; \backslash mathrm\; e^\{\backslash mathrm\; x\}\}\{1-\; \backslash mathrm\; e^\{\backslash mathrm\; x\}\}\backslash right)$

Als erstes wird mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet.

Dann differenzierst du unter Verwendung der Quotientenregel nach.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{(\frac{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}})}}\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cdot (1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})-(1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})\cdot (-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})}{{(1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}})}^2}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{(\backslash frac\{1+\backslash mathrm\; e^\{\backslash mathrm\; x\}\}\{1-\backslash mathrm\; e^\backslash mathrm\; x\})\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash mathrm\; e^\backslash mathrm\; x\backslash cdot\backslash left(1-\backslash mathrm\; e^\backslash mathrm\; x\backslash right)-\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\backslash mathrm\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash left(-\backslash mathrm\; e^\backslash mathrm\; x\backslash right)\}\{\backslash left(1-\backslash mathrm\; e^\backslash mathrm\; x\backslash right)^2\}$

Den Doppelbruch zu Beginn löst du auf, indem du den Kehrbruch des Nenners bildest.

Erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen

Zweiter Schritt, die Ableitung bilden

$f\left(x\right)=x-\frac{1}{3}\ln (1+e^{3x})f\backslash left(x\backslash right)=x-\backslash frac13\backslash ln\backslash left(1+e^\{3x\}\backslash right)$

Wende die Kettenregel an.