Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen

Leite folgende Funktionen mit Logarithmus ab.

$f(x)=x+\ln x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bilde die erste Ableitung.
$f'(x)=1+\frac1x$
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$f(x)=x\cdot\ln x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Leite ab, indem du die Produktregel nutzt. Es müssen die Ableitung von $u(x)=x$ und $v(x)= \ln x$ gebildet werden.
$u'=1$
$v'=\frac1x$
$f'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x =\ln x+1$
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$f(x)=\ln(-x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bilde die erste Ableitung.
$f'(x)=(-1)\cdot\frac1{(-x)}=\frac1x$
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$f(x)=-\ln(2x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Bilde die erste Ableitung
$f'(x)=-\frac{1}{2x} \cdot 2 = -\frac1x$
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$f(x)=\ln(x^2)$ für $x\in \mathbb R\setminus \{0\}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Zerlege zunächst $f(x)$ in $u(x)$ und $v(x)$ .
$u(x)=\ln(x)$ und $v(x)=x^2$ .
Dann ist $f(x)=u(v(x))=u(x^2)=\ln(x^2)$ .
Berechne die Ableitung von $u(x)$ und $v(x)$ .
Es gilt: $u'(x)=\dfrac1x$ und $v'(x)=2x$
Jetzt kannst du $f(x)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
Diese ist für alle $x\in \mathbb R\setminus \{0\}$ definiert.
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Um $f(x)$ ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist und wie du die natürliche logarithmus Funktion $\ln(x)$ ableiten kannst.
$f(x)=(\ln x)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Kettenregel anwenden.
$f'(x)=\frac1x\cdot2\cdot\mathrm{lnx}=\frac{2\cdot \ln x}{x}$
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$f(x)=\ln\sqrt x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{x}\right)=\ln\left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\cdot\ln x$
Die Wurzel lässt sich als Potenz schreiben. Dann wendet man die Potenzregel des Logarithmus an.
In dieser Form kannst du die Ableitung der Funktion mit der Faktorregel berechnen:
$f'(x)= (\frac{1}{2}\cdot \ln x)'=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$
Das fasst du noch zusammen und erhältst als Ergebnis:
$f'(x)=\frac{1}{2x}$
Anmerkung: Die Faktorregel ist ein Spezialfall der Produktregel. Du kannst die Ableitung daher natürlich auch mit der Produktregel berechnen
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$f(x)=\sqrt{\ln x}$ für $x\in \mathbb \R, \quad x>1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Um $f$ ableiten zu können musst du wissen, wann eine Funktion differenzierbar ist, was die Kettenregel ist, wie du Wurzeln als Potenz schreiben und wie du die natürliche Logarithmusfunktion $\ln(x)$ ableiten kannst.
Schreibe die Wurzel als Potenz.
$f(x)=\sqrt{\ln x}=\left(\mathrm{\ln x}\right)^\frac12$
Zerlege zunächst $f(x)$ in $u(x)$ und $v(x)$ :
$u(x)=x^\frac12$
$v(x)=\ln(x)$
Dann ist $f(x)=u(v(x))=u(\ln(x))=(\ln(x))^\frac12$ .
Berechne die Ableitung von $u(x)$ und $v(x)$ :
$u'(x)=\dfrac12\cdot x^{\frac12-1}=\dfrac12\cdot x^{-\frac12}=\dfrac1{2}\cdot \dfrac1{\sqrt x}$
$v'(x)=\dfrac1x$
Jetzt kannst du $f(x)$ mit Hilfe der Kettenregel ableiten:
$f'(x)=\left(u(v(x))\right)'\\=u'(v(x))\cdot v'(x)\\=u'\left(\ln(x)\right)\cdot v'(x)\\=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\ln(x)}}\cdot\frac{1}{x}$ .
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$f(x)=\ln(\sin x)$

$f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{1+\mathrm e^{\mathrm x}}{1-\mathrm e^{\mathrm x}}\right)$

$f(x)=\ln\left[2+\frac12\left(e^x+e^{-x}\right)\right]$

$f(x)=2x-\left(\ln (2-2\cdot\mathrm{e^x})\right)^2$

$f(x)=\ln(\ln x)$ für $x\in \mathbb R, \quad x>1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
$f(x)=\ln^2(x)=\ln(\ln x)$
Wende die Ableitungsregel für den ln mit beliebigem Argument an und differenziere mit der Ableitung des Arguments nach (hier: lnx).
$f'\left(x\right)=\frac1{\ln x}\cdot\frac1x\\=\frac1{\ln x\;\cdot\; x}$
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$f(x)=\frac12x^2\left(\ln x-\frac12\right)$

$f(x)=\displaystyle\ln\sqrt[3]{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}}$ für $x\in \mathbb {R}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]'$
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\sin\left(x\right)\right)'}{\sin\left(x\right)}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$
	↓	(Kotangens) $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\cot(x)$
	$=$	$\displaystyle \cot (x)$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{1-\mathrm e^{\mathrm x}}{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x\cdot\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)-\left(1+\mathrm e^\mathrm x\right)\cdot\left(-\mathrm e^\mathrm x\right)}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)^2}$
	↓	Nun kürzt du und musmultiplizierst aus im Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac1{1+\mathrm e^\mathrm x}\cdot\frac{\mathrm e^\mathrm x-\mathrm e^{2\mathrm x}+\mathrm e^\mathrm x+\mathrm e^{2\mathrm x}}{\left(1-\mathrm e^\mathrm x\right)}$
	↓	Nun fasst du im Zähler zusammenfassen. Im Nenner wendest du die binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\mathrm e^\mathrm x}{1-\mathrm e^{2\mathrm x}}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \frac1{2+{\frac12}\left(\mathrm {e^{x}+e^{-x}}\right)}\cdot\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)$
	↓	Kürze Zähler und Nenner des Bruches mit $\frac12$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{4+e^x+e^{-x}}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 2-2\cdot \ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot\frac{1}{2-2\mathrm{e^x}}\cdot (-2e^x)$
	$=$	$\displaystyle 2 - \frac{2\cdot \ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot(-2\mathrm{e^x})}{2-2\mathrm{e^x}}$
	↓	Mit 2 kürzen.
	$=$	$\displaystyle 2 + \frac{\ln(2-2\mathrm{e^x})\cdot2\mathrm{e^x}}{1-\mathrm{e^x}}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(\ln x-\frac12\right)+\frac12x^2\cdot\frac1x$
	↓	Multipliziere die Klammer aus und kürze ein $x$ im zweiten Summanden.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\ln x-\frac12x+\frac12x$
	$=$	$\displaystyle x\cdot\ln x$

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Erster Schritt, den Logarithmus in einfache Teile zerlegen

Zweiter Schritt, die Ableitung bilden

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$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle 1-\frac13\frac1{1+e^{3x}}3e^{3x}$
	↓	Kürze den 2.Term.
	$=$	$\displaystyle 1 - \frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}$
	↓	Bringe den ersten Term auf den Hauptnenner.
	$=$	$\displaystyle \frac{1+e^{3x}}{1+e^{3x}}-\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{1+e^{3x}}$