$f(x)=e^{-x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\prime }(x)=-e^{-x}$

$f(x)=e^{2x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die $2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\prime }(x)=2e^{2x}$

$f(x)=e^{x^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $2x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $x^2$.

$f^{\prime }(x)=2{\mathrm{xe}}^{x^2}$

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

$f(x)=e^{\sqrt{x}}$

Bilde die erste Ableitung. Die $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\sqrt{x}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}$

Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}$



Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{2}x}$

Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die $1/2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{e^x}$

Die äußere Funktion ist $u(x)=e^x$.

Die innere Funktion ist $v(x)=sinx+cosx$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $v\text{´}(x)=cosx-sinx$.

Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.

$f^{\prime }(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot (\cos x-\sin x)$

$f(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $-x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\frac{1}{2}\cdot x^2$.

$f^{\prime }(x)=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}$= 

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}}$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^{\frac{1}{3}\cdot x}}}$

Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.

$f(x)=e^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot x}$

$f^{\prime }\left(x\right)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-\frac{1}{3}x}$

Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.

$=-{\displaystyle \frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{e^x}}}$

$f\left(x\right)=x^2{e}^{-\sqrt{x}}$

Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren $u(x)=x^2$ und $v(x)=e^{-\sqrt{x}}$. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren $u(x)$ und $v(x)$.

$u^{\prime }(x)=2x$

Zur Berechnung von $v^{\prime }(x)$ benötigst du die Kettenregel.

$v^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}$

Wende nun die Produktregel an.

$f^{\prime }\left(x\right)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}+x^2\cdot (-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}})$

Löse die Klammer auf.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}$

Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil $x^2$ mit $x^{-\frac{1}{2}}$.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}$

Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. $e^{-\sqrt{x}}$ ausklammern.

$=e^{-\sqrt{x}}\cdot (2x-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}})$