$f(x)=e^{-x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f'(x)=-e^{-x}$

$f(x)=e^{2x}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die $2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f'(x)=2e^{2x}$

$f(x)=e^{x^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $2x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $x²$.

$f'(x)=2\mathrm{xe}^{x^2}$

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

$f(x)=e^{\sqrt x}$

Bilde die erste Ableitung. Die $\frac12\cdot\frac1{\sqrt x}$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\sqrt x$.

$f'(x)=\frac12\cdot\frac1{\sqrt x}\cdot e^{\sqrt x}$

Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:

$f'(x)=\frac1{2\sqrt x}e^{\sqrt x}$



Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac12x}$

Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die $1/2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f'\left(x\right)=\frac12\cdot e^{\frac12x}=\frac12\cdot\sqrt{e^x}$

Die äußere Funktion ist $u(x) =e^x$.

Die innere Funktion ist $v(x)=sinx+cosx$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $v´(x)= cosx-sinx$.

Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.

$f'(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot\left(\cos x-\sin x\right)$

$f(x)=e^{-\frac12x^2}$

Bilde die erste Ableitung. Die $-x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\frac 1 2 \cdot x²$.

$f'(x)=-2\cdot\frac12\cdot x\cdot e^{-\frac12x^2}= -x \cdot e^{- \frac 1 2 \cdot x^2}$= 

$f(x)=\dfrac1{\sqrt[3]{e^x}}$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x) =\dfrac1{e^{\frac 1 3 \cdot x}}$

Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.

$f(x)=e^{-\dfrac 1 3 \cdot x}$

$f'\left(x\right)=-\frac1 3\cdot e^{-\frac 1 3 x}$

Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.

$=-\dfrac1{3\cdot\sqrt[3]{e^x}}$

$f\left(x\right)=x^2e^{-\sqrt x}$

Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren $u(x)=x^2$ und $v(x)=e^{-\sqrt x}$. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren $u(x)$ und $v(x)$.

$u'(x)=2x$

Zur Berechnung von $v'(x)$ benötigst du die Kettenregel.

$v'(x)=-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}$

Wende nun die Produktregel an.

$f'\left(x\right)=u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)= 2x\cdot e^{-\sqrt x}+x^2\cdot\left(-\frac12\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}\right)$

Löse die Klammer auf.

$=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^2\cdot x^{-\frac12}\cdot e^{-\sqrt x}$

Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil $x^2$ mit $x^{- \frac 1 2}$.

$=2x\cdot e^{-\sqrt x}-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt x}$

Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. $e^{-\sqrt x}$ ausklammern.

$= e^{-\sqrt x} \cdot ( 2x-\frac12\cdot x^{\frac{3}{2}})$