$f(x)=e^{-x}f(x)=e^\{-x\}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, dass Minus im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}f\text{'}(x)=-e^\{-x\}$

$f(x)=e^{2x}f(x)=e^\{2x\}$

Bilde die erste Ableitung. Vergiss nicht, die $22$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{2x}f\text{'}(x)=2e^\{2x\}$

$f(x)=e^{x^2}f(x)=e^\{x^2\}$

Bilde die erste Ableitung. Die $2x2x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $x^{2}x²$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2{\mathrm{x}\mathrm{e}}^{x^2}f\text{'}(x)=2\backslash mathrm\{xe\}^\{x^2\}$

Schreibe etwas oder füge mit ⊕ Elemente hinzu.

$f(x)=e^{\sqrt{x}}f(x)=e^\{\backslash sqrt\; x\}$

Bilde die erste Ableitung. Die $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\backslash frac12\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash sqrt\; x\}$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\sqrt{x}\backslash sqrt\; x$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}f\text{'}(x)=\backslash frac12\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash sqrt\; x\}\backslash cdot\; e^\{\backslash sqrt\; x\}$

Wenn du möchtest, kann du noch ein wenig vereinfachen:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}{e}^{\sqrt{x}}f\text{'}(x)=\backslash frac1\{2\backslash sqrt\; x\}e^\{\backslash sqrt\; x\}$



Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)=\sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{2}x}f(x)=\backslash sqrt\{e^x\}=e^\{\backslash frac12x\}$

Bilde nun die Ableitung. Vergiss nicht, die $1\mathrm{/}21/2$ im Exponenten nachzudifferenzieren.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{\frac{1}{2}x}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{e^x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac12\backslash cdot\; e^\{\backslash frac12x\}=\backslash frac12\backslash cdot\backslash sqrt\{e^x\}$

Die äußere Funktion ist $u(x)=e^{x}u(x)\; =e^x$.

Die innere Funktion ist $v(x)=sinx+cosxv(x)=sinx+cosx$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $v\text{´}(x)=cosx-sinxv´(x)=\; cosx-sinx$.

Nun kannst du die Funktion direkt mit der Kettenregel ableiten.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^{\sin x+\cos x}\cdot (\cos x-\sin x)f\text{'}(x)=e^\{\backslash sin\; x+\backslash cos\; x\}\backslash cdot\backslash left(\backslash cos\; x-\backslash sin\; x\backslash right)$

$f(x)=e^{-\frac{1}{2}{x}^2}f(x)=e^\{-\backslash frac12x^2\}$

Bilde die erste Ableitung. Die $-x-x$ vor der e-Funktion kommt vom Nachdifferenzieren des Exponenten $\frac{1}{2}\cdot x^2\backslash frac\; 1\; 2\; \backslash cdot\; x²$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot x\cdot e^{-\frac{1}{2}{x}^2}=-x\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot x^2}f\text{'}(x)=-2\backslash cdot\backslash frac12\backslash cdot\; x\backslash cdot\; e^\{-\backslash frac12x^2\}=\; -x\; \backslash cdot\; e^\{-\; \backslash frac\; 1\; 2\; \backslash cdot\; x^2\}$= 

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}}f(x)=\backslash dfrac1\{\backslash sqrt[3]\{e^x\}\}$

Schreibe die Wurzel als Potenz.

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^{\frac{1}{3}\cdot x}}}f(x)\; =\backslash dfrac1\{e^\{\backslash frac\; 1\; 3\; \backslash cdot\; x\}\}$

Bevor du ableitest, bietet es sich an, den Bruch "aufzulösen". Das kannst du mit einem Minus vor dem Exponenten machen.

$f(x)=e^{-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot x}f(x)=e^\{-\backslash dfrac\; 1\; 3\; \backslash cdot\; x\}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=-\frac{1}{3}\cdot e^{-\frac{1}{3}x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=-\backslash frac1\; 3\backslash cdot\; e^\{-\backslash frac\; 1\; 3\; x\}$

Wenn du möchtest, kannst du das Ergebnis noch einmal umformen.

$=-{\displaystyle \frac{1}{3\cdot \sqrt[3]{e^x}}}=-\backslash dfrac1\{3\backslash cdot\backslash sqrt[3]\{e^x\}\}$

$f\left(x\right)=x^2{e}^{-\sqrt{x}}f\backslash left(x\backslash right)=x^2e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Die Funktion ist insgesamt ein Produkt mit den Faktoren $u(x)=x^{2}u(x)=x^2$ und $v(x)=e^{-\sqrt{x}}v(x)=e^\{-\backslash sqrt\; x\}$. Berechne zuerst die Ableitungen der Faktoren $u(x)u(x)$ und $v(x)v(x)$.

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=2xu\text{'}(x)=2x$

Zur Berechnung von $v^{\mathrm{\prime }}(x)v\text{'}(x)$ benötigst du die Kettenregel.

$v^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}v\text{'}(x)=-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Wende nun die Produktregel an.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}+x^2\cdot (-\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}})f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=u\text{'}(x)\; \backslash cdot\; v(x)\; +\; u(x)\; \backslash cdot\; v\text{'}(x)=\; 2x\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}+x^2\backslash cdot\backslash left(-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}\backslash right)$

Löse die Klammer auf.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^2\cdot x^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}=2x\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}-\backslash frac12\backslash cdot\; x^2\backslash cdot\; x^\{-\backslash frac12\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Nun kannst du noch vereinfachen. Multiplizere dazu im zweiten Teil $x^{2}x^2$ mit $x^{-\frac{1}{2}}x^\{-\; \backslash frac\; 1\; 2\}$.

$=2x\cdot e^{-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}\cdot e^{-\sqrt{x}}=2x\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\backslash cdot\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}$

Wenn du noch weiter vereinfachen möchtest, kannst du z.B. $e^{-\sqrt{x}}e^\{-\backslash sqrt\; x\}$ ausklammern.

$=e^{-\sqrt{x}}\cdot (2x-\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}})=\; e^\{-\backslash sqrt\; x\}\; \backslash cdot\; (\; 2x-\backslash frac12\backslash cdot\; x^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\})$