$f(\mathrm x)=\ln\left(\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}\right)$

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

$f(\mathrm x)=\ln\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)$

Den ersten Term vereinfachen.

$f(\mathrm x)=-\mathrm x-\ln\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)$

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

$f'(\mathrm x)=-1-\frac{-\mathrm e^{-\mathrm x}}{\left(1+\mathrm e^{-\mathrm x}\right)}$

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

$=-\frac{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}+\frac{\mathrm e^{-\mathrm x}}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}=\frac{-1}{1+\mathrm e^{-\mathrm x}}$

Die Brüche addieren.

$f(x)=\ln(e^x+e^{-x})$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f'(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}\cdot(e^x-e^{-x})$

$=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

$f(x)=\ln(1+e^x)$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .

$f'(x)=\dfrac{1}{1+e^x}\cdot e^x=\dfrac{e^x}{e^x+1}$

$f(x)=\ln(\log x)-\log(\ln x)$

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f'(x)=\frac1{\mathrm{logx}}\cdot\frac1x\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}}\cdot\frac1{\mathrm{ln10}}\cdot\frac1x$

Nun wende die Logarithmusformel an: $\log x=\frac{\ln\;x}{\ln\;10}$

$=\frac{\ln10}{\ln x \;\cdot\;x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}-\frac1{\mathrm{lnx}\;\cdot\; x\;\cdot\;\mathrm{ln10}}$

$=\frac{\ln10-1}{\ln x\;\cdot\; x\; \cdot\;\mathrm{ln10}}$

$f(x)=\ln(e^x)=x$

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.

$f'\left(x\right)=1$

Zunächst stellen wir den Definitionsbereich fest: da $e$ keine ganze Zahl ist, ist der Ausdruck $x^e$ nur für positive $x$ definiert und positiv. Da wir dann den Logarithmus anwenden können, besteht der Definitionsbereich aus dem Intervall $(0,\infty)$.

$f(\mathrm x)=\ln(\mathrm x^\mathrm e)$

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(\mathrm x)=\;\mathrm e\cdot\ln(\mathrm x)$

Wende die Ableitungsregel für den $\ln$ an.

$f'\left(\mathrm x\right)=\;\mathrm e\cdot\frac1{\mathrm x}$

$f'\left( x\right)=\; e\cdot\dfrac1{x}=\dfrac{ e}{ x}$

$f(x)=\sin(\ln x)$

Leite mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f'\left(x\right)=\cos\left(\ln x\right)\cdot\frac1x$

$f(x)=x \ln x-x$

Berechne die Ableitung von u ($x$) und v ($\ln x$).

$u'(x)=1,\;\; v'(x)=\frac1x$

f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.

$f'\left(x\right)=x\cdot\frac1x+1\cdot\ln x-1$

$=1+\ln x-1=\ln x$

Ableitung berechnen

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$f(x)=x^3\ln x-\frac13x^3$

Wende zum Ableiten des ersten Summanden die Produktregel an.

$f'(x)=3x^2\cdot\ln x+x^3\cdot\frac1x-x^2$

Kürze den zweiten Summanden mit x.

$=3x^2\cdot\ln x+x^2-x^2=3x^2\cdot \ln x$

$f(x)=x\left(\ln x\right)^2-2x\ln x+2x$

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den $\ln$ an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den $\ln$ .

$f'\left(x\right)=\left[1\cdot\left(\ln x\right)^2+x\cdot2\ln x\cdot\frac1x\right]-\left[2\ln x+2x\cdot\frac1x\right]+2$

Multipliziere aus und vereinfache.

$=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-\left[2\ln x+2\right]+2$

$=\left(\ln x\right)^2+2\ln x-2\ln x-2+2$

$=\left(\ln x\right)^2$

$f(x)=\frac13\left(\ln x\right)^3$

Wende die Kettenregel zum Ableiten an und differenziere mit der Ableitung von ln(x) nach.

$f'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot (\ln x)^2\cdot \frac{1}{x}$

$=\frac{(\ln x)^2}{x}$

$f(x)=x\left[\left(\ln x\right)^3-3(\ln x)^2+6\ln x-6\right]$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von $u=x$ und $v=-3(\ln x)^2+6\ln x-6$ gebildet werden.

$u'=1$

$v'=3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x$

Um $v$ abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von $\ln x$  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von $\ln x$ berechnet werden.

$f'\left(x\right)=1\cdot\left[\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6\right]$  

$+x\cdot\left[3\left(\ln x\right)^2\cdot\frac1x-3\cdot2\left(\ln x\right)\cdot\frac1x+6\cdot\frac1x\right]$

Multipliziere nun die Klammern aus.

$=\left(\ln x\right)^3-3\left(\ln x\right)^2+6\left(\ln x\right)-6+3\left(\ln x\right)^2-6\left(\ln x\right)+6$

Fasse jetzt zusammen.

$=\left(\ln x\right)^3$