$f(\mathrm{x})=\ln \left(\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\right)f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\backslash right)$

Mit Hilfe der Quotientenregel den Logarithmus umformen.

$f(\mathrm{x})=\ln \left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ln\backslash left(\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)-\backslash ln\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)$

Den ersten Term vereinfachen.

$f(\mathrm{x})=-\mathrm{x}-\ln (1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})f(\backslash mathrm\; x)=-\backslash mathrm\; x-\backslash ln\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)$

Ableiten, beim ln mit der Kettenregel .

$f^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{x})=-1-\frac{-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{(1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}})}f\text{'}(\backslash mathrm\; x)=-1-\backslash frac\{-\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{\backslash left(1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\backslash right)\}$

Den ersten Term zu einem Bruch mit dem gleichen Nenner umformen.

$=-\frac{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}+\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}=\frac{-1}{1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}=-\backslash frac\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}+\backslash frac\{\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}=\backslash frac\{-1\}\{1+\backslash mathrm\; e^\{-\backslash mathrm\; x\}\}$

Die Brüche addieren.

$f(x)=\ln (e^x+e^{-x})f(x)=\backslash ln(e^x+e^\{-x\})$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{e^x+e^{-x}}}\cdot (e^x-e^{-x})f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{e^x+e^\{-x\}\}\backslash cdot(e^x-e^\{-x\})$

$={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}=\backslash dfrac\{e^x-e^\{-x\}\}\{e^x+e^\{-x\}\}$

$f(x)=\ln (1+e^x)f(x)=\backslash ln(1+e^x)$

Mit Hilfe der Kettenregel ableiten .

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\cdot e^x={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{1\}\{1+e^x\}\backslash cdot\; e^x=\backslash dfrac\{e^x\}\{e^x+1\}$

$f(x)=\ln (\log x)-\log (\ln x)f(x)=\backslash ln(\backslash log\; x)-\backslash log(\backslash ln\; x)$

Leite beide Elemente mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}}\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}10}-\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{x}}\cdot \frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}10}\cdot \frac{1}{x}f\text{'}(x)=\backslash frac1\{\backslash mathrm\{logx\}\}\backslash cdot\backslash frac1x\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\{ln10\}\}-\backslash frac1\{\backslash mathrm\{lnx\}\}\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\{ln10\}\}\backslash cdot\backslash frac1x$

Nun wende die Logarithmusformel an: $\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}\backslash log\; x=\backslash frac\{\backslash ln\backslash ;x\}\{\backslash ln\backslash ;10\}$

$=\frac{\ln 10}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}10}-\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{x}\cdot x\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}10}=\backslash frac\{\backslash ln10\}\{\backslash ln\; x\; \backslash ;\backslash cdot\backslash ;x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash mathrm\{ln10\}\}-\backslash frac1\{\backslash mathrm\{lnx\}\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\; x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\backslash mathrm\{ln10\}\}$

$=\frac{\ln 10-1}{\ln x\cdot x\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}10}=\backslash frac\{\backslash ln10-1\}\{\backslash ln\; x\backslash ;\backslash cdot\backslash ;\; x\backslash ;\; \backslash cdot\backslash ;\backslash mathrm\{ln10\}\}$

$f(x)=\ln (e^x)=xf(x)=\backslash ln(e^x)=x$

Die ln-Funktion ist die Umkehrfunktion der e-Funktion, wodurch diese sich gegenseitig aufheben.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=1f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=1$

Zunächst stellen wir den Definitionsbereich fest: da $ee$ keine ganze Zahl ist, ist der Ausdruck $x^{e}x^e$ nur für positive $xx$ definiert und positiv. Da wir dann den Logarithmus anwenden können, besteht der Definitionsbereich aus dem Intervall $(0,\mathrm{\infty })(0,\backslash infty)$.

$f(\mathrm{x})=\ln ({\mathrm{x}}^{\mathrm{e}})f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ln(\backslash mathrm\; x^\backslash mathrm\; e)$

Wende die Potenzregel des Logarithmus an.

$f(\mathrm{x})=\mathrm{e}\cdot \ln (\mathrm{x})f(\backslash mathrm\; x)=\backslash ;\backslash mathrm\; e\backslash cdot\backslash ln(\backslash mathrm\; x)$

Wende die Ableitungsregel für den $\ln \backslash ln$ an.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}\cdot \frac{1}{\mathrm{x}}f\text{'}\backslash left(\backslash mathrm\; x\backslash right)=\backslash ;\backslash mathrm\; e\backslash cdot\backslash frac1\{\backslash mathrm\; x\}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=e\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{e}{x}}f\text{'}\backslash left(\; x\backslash right)=\backslash ;\; e\backslash cdot\backslash dfrac1\{x\}=\backslash dfrac\{\; e\}\{\; x\}$

$f(x)=\sin (\ln x)f(x)=\backslash sin(\backslash ln\; x)$

Leite mit Hilfe der Kettenregel ab.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash cos\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash frac1x$

$f(x)=x\ln x-xf(x)=x\; \backslash ln\; x-x$

Berechne die Ableitung von u ($xx$) und v ($\ln x\backslash ln\; x$).

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=1,v^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{x}u\text{'}(x)=1,\backslash ;\backslash ;\; v\text{'}(x)=\backslash frac1x$

f(x) mit Hilfe der Produktregel ableiten.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=x\cdot \frac{1}{x}+1\cdot \ln x-1f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=x\backslash cdot\backslash frac1x+1\backslash cdot\backslash ln\; x-1$

$=1+\ln x-1=\ln x=1+\backslash ln\; x-1=\backslash ln\; x$

Ableitung berechnen

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$f(x)=x^3\ln x-\frac{1}{3}{x}^{3}f(x)=x^3\backslash ln\; x-\backslash frac13x^3$

Wende zum Ableiten des ersten Summanden die Produktregel an.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\cdot \ln x+x^3\cdot \frac{1}{x}-x^{2}f\text{'}(x)=3x^2\backslash cdot\backslash ln\; x+x^3\backslash cdot\backslash frac1x-x^2$

Kürze den zweiten Summanden mit x.

$=3x^2\cdot \ln x+x^2-x^2=3x^2\cdot \ln x=3x^2\backslash cdot\backslash ln\; x+x^2-x^2=3x^2\backslash cdot\; \backslash ln\; x$

$f(x)=x{(\ln x)}^2-2x\ln x+2xf(x)=x\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2-2x\backslash ln\; x+2x$

Zum Ableiten betrachte jeden Summanden einzeln. Für die Ableitung des ersten Summanden wende die Kettenregel sowie die Ableitungsregel für den $\ln \backslash ln$ an. Für den zweiten Summanden verwende nur die Ableitungsregel für den $\ln \backslash ln$ .

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=[1\cdot {(\ln x)}^2+x\cdot 2\ln x\cdot \frac{1}{x}]-[2\ln x+2x\cdot \frac{1}{x}]+2f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash left[1\backslash cdot\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+x\backslash cdot2\backslash ln\; x\backslash cdot\backslash frac1x\backslash right]-\backslash left[2\backslash ln\; x+2x\backslash cdot\backslash frac1x\backslash right]+2$

Multipliziere aus und vereinfache.

$={(\ln x)}^2+2\ln x-[2\ln x+2]+2=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+2\backslash ln\; x-\backslash left[2\backslash ln\; x+2\backslash right]+2$

$={(\ln x)}^2+2\ln x-2\ln x-2+2=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+2\backslash ln\; x-2\backslash ln\; x-2+2$

$={(\ln x)}^2=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2$

$f(x)=\frac{1}{3}{(\ln x)}^{3}f(x)=\backslash frac13\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3$

Wende die Kettenregel zum Ableiten an und differenziere mit der Ableitung von ln(x) nach.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot (\ln x{)}^2\cdot \frac{1}{x}f\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; (\backslash ln\; x)^2\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{x\}$

$=\frac{(\ln x{)}^2}{x}=\backslash frac\{(\backslash ln\; x)^2\}\{x\}$

$f(x)=x[{(\ln x)}^3-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6]f(x)=x\backslash left[\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3-3(\backslash ln\; x)^2+6\backslash ln\; x-6\backslash right]$

Wende die Produktregel zum Ableiten an. Hierbei muss die Ableitung von $u=xu=x$ und $v=-3(\ln x{)}^2+6\ln x-6v=-3(\backslash ln\; x)^2+6\backslash ln\; x-6$ gebildet werden.

$u^{\mathrm{\prime }}=1u\text{'}=1$

$v^{\mathrm{\prime }}=3{(\ln x)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2(\ln x)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}v\text{'}=3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2\backslash cdot\backslash frac1x-3\backslash cdot2\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash frac1x+6\backslash cdot\backslash frac1x$

Um $vv$ abzuleiten, wird jeder Summand gesondert betrachtet. Für die Ableitung der ersten beiden Summanden ist die Kettenregel notwendig, wobei mit der Ableitung von $\ln x\backslash ln\; x$  nachdifferenziert werden muss. Für den dritten Summanden muss die Ableitung von $\ln x\backslash ln\; x$ berechnet werden.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=1\cdot [{(\ln x)}^3-3{(\ln x)}^2+6(\ln x)-6]f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=1\backslash cdot\backslash left[\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3-3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+6\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)-6\backslash right]$  

$+x\cdot [3{(\ln x)}^2\cdot \frac{1}{x}-3\cdot 2(\ln x)\cdot \frac{1}{x}+6\cdot \frac{1}{x}]+x\backslash cdot\backslash left[3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2\backslash cdot\backslash frac1x-3\backslash cdot2\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)\backslash cdot\backslash frac1x+6\backslash cdot\backslash frac1x\backslash right]$

Multipliziere nun die Klammern aus.

$={(\ln x)}^3-3{(\ln x)}^2+6(\ln x)-6+3{(\ln x)}^2-6(\ln x)+6=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3-3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2+6\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)-6+3\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^2-6\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)+6$

Fasse jetzt zusammen.

$={(\ln x)}^3=\backslash left(\backslash ln\; x\backslash right)^3$