Aufgaben zu Bruchgleichungen - lernen mit Serlo!

Bestimme Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichungen.

$\displaystyle\frac{30}x-\frac{16}{x+1}=\frac{13}{x-2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Definitionsbereich bestimmen

$\displaystyle \frac{30}{x}-\frac{16}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{x-2}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0;-1;2\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\displaystyle \frac{30}{x}-\frac{16}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{13}{x-2}$
	↓	Auf den Hauptnenner $x(x+1)(x-2)$ erweitern.
$\displaystyle \displaystyle\frac{30(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}-\frac{16x(x-2)}{x(x+1)(x-2)}$	$=$	$\displaystyle \frac{13x(x+1)}{x(x+1)(x-2)}$
	↓	Mit dem Hauptnenner $x(x+1)(x-2)$ multiplizieren.
$\displaystyle 30\left(x+1\right)\left(x-2\right)-16x\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 13x\left(x+1\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 30\left(x^2-2x+x-2\right)-16x^2+32x$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
$\displaystyle 30x^2-60x+30x-60-16x^2+32x$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$
	↓	Terme zusammenfassen
$\displaystyle 14x^2+2x-60$	$=$	$\displaystyle 13x^2+13x$	$\displaystyle -13^2-13x$
$\displaystyle x^2-11x-60$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Diskriminante bestimmen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 121+240=631$
	↓	$361>0 =>$ zwei Lösungen Die Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-b+\sqrt D}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11+\sqrt{361}}{2}=15$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$
	$=$	$\displaystyle \frac{11-\sqrt{361}}{2}=-4$
$\displaystyle ⇒\ L$	$=$	$\displaystyle \left\{-4;15\right\}$

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$\displaystyle\frac4x-\frac x4=\frac8x-\frac{3x}4$

$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{x^2}{x^2-1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich bestimmen

Für die Lösung dieser Aufgabe kannst du entweder den nachfolgenden Text lesen oder dir ein Video dazu anschauen, wenn du nach unten scrollst.

Definitionsmenge bestimmen

Bestimme zuerst die Definitionsmenge.

$\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{-1;1\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $(x-1)(x+1)$ erweitern.
$\displaystyle \frac{(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}-\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x^2}{x^2-1}$	$\displaystyle \cdot\left(x-1\right)\left(x+1\right)$
	↓	Mit dem Hauptnenner multiplizieren.
$\displaystyle \left(x+1\right)^2-\left(x-1\right)^2$	$=$	$\displaystyle x^2$
	↓	Binomische Formeln anwenden.
$\displaystyle x^2+2x+1-x^2+2x-1$	$=$	$\displaystyle x^2$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle -x^2+4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diskriminante bestimmen
$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	$16>0 =>$ zwei Lösungen Mitternachtsformel anwenden
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-4+4}{-2}=0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-4-4}{-2}=4$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;L$	$=$	$\displaystyle \left\{0;4\right\}$

Alternativ kann die Gleichung $-x^2+4x=0 \;\Rightarrow\;x(-x+4)=0$ auch mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden.

$x=0 \;\text{oder}\; x=4\;\Rightarrow\;L=\left\{0;4\right\}$

Videolösung

Im folgenden YouTube-Video von Robert Plötz wird dir die Lösung der Aufgabe nochmal Schritt für Schritt erklärt:

Mit einem Klick auf Bild oder Button oben stimmst du zu, dass externe Inhalte von YouTube geladen werden. Dabei können persönliche Daten zu diesem Service übertragen werden – entsprechend unserer Datenschutzerklärung.

[https://youtu.be/dUsXwi-PIR4]

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$\frac x{x^2-4x}=2$

$\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+2}{x^2+4x+4}$

$\displaystyle \frac{4}{x}-\frac{x}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{8}{x}-\frac{3x}{4}$
$\displaystyle D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen, Auf den Hauptnenner $4x$ erweitern
$\displaystyle \frac{4\cdot4}{4x}-\frac{x\cdot x}{4x}$	$=$	$\displaystyle \frac{8\cdot4}{4x}-\frac{3x^2}{4x}$	$\displaystyle \cdot4x$
$\displaystyle 16-x^2$	$=$	$\displaystyle 32-3x^2$	$\displaystyle -32\ +3x^2$
$\displaystyle 2x^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +16$
$\displaystyle 2x^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \left\|\sqrt{\;\;}\right.$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \sqrt{8}\approx2{,}8$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -\sqrt{8}\approx-2{,}8$
$\displaystyle ⇒L$	$=$	$\displaystyle \left\{-\sqrt{8};\sqrt{8}\right\}$

$\displaystyle \frac{x}{x^2-4x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Den Nenner gleich $0$ setzen
$\displaystyle x^2-4x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Den Faktor x ausklammern
$\displaystyle x\left(x-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;D$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{0;4\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen; es handelt sich um eine Quadratische Gleichung.
$\displaystyle \frac{x}{x^2-4x}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Klammere $x$ im Nenner wieder aus.
$\displaystyle \frac{x}{x\cdot\left(x-4\right)}$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Kürze mit $x$ .
$\displaystyle \frac{1}{x-4}$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot\left(x-4\right)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(x-4\right)$
	↓	Ausmultiplizieren.
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 2x-8$	$\displaystyle +8$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 2x$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \frac{9}{2}$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;L$	$=$	$\displaystyle \left\{\frac92\right\}$

$\displaystyle \frac{x-2}{x^2-4}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+4x+4}$
	↓	Wende die Binomischen Formeln an, um die Nenner jeweils zu vereinfachen.
$\displaystyle \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{\left(x+2\right)^2}$
	↓	Betrachte nun die Nenner auf beiden Seiten und bestimme die sogenannten Definitionslücken. Der Nenner links
$\displaystyle \left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)\$	$=$	$\displaystyle 0\ ⇔\ x\ =\ 2\ oder\ x\ =-2$
	↓	Der Nenner rechts
$\displaystyle \left(x+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0\ ⇔\ x\ =-2$
	↓	$\Rightarrow$ Die Defintionslücken sind also bei $+2$ und $-2$ .
$\displaystyle \Rightarrow D_f$	$=$	$\displaystyle ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}$
	↓	Lösungsmenge bestimmen
$\displaystyle \frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{x+2}{\left(x+2\right)^2}$
	↓	Kürze auf beiden Seiten
$\displaystyle \frac{1}{x+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{x+2}$	$\displaystyle \cdot\left(x+2\right)$
$\displaystyle 1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;L=D$	$=$	$\displaystyle \;\;ℝ\backslash\left\{+2,-2\right\}$
	↓	d.h. die Gleichung ist für alle Zahlen der Definitionsmenge gültig.