Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

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Berechne den Berührpunkt $B$ und die Gleichung einer Tangente an die Parabel $p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt $A (1,25 | y)$ senkrecht ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln berechnen

Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.

Gegeben:

$p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ und $A (1,25 | y)$

Gesucht:

Parabelpunkt $B (x_{B} | y_{B})$

Berechne die 2. Koordinate von $A$ durch Einsetzen in die Parabelgleichung.

$p (1,25)$	$=$	$(1,25 - 1)^{2} + 1$
	$=$	$1,0625$

$\Rightarrow A (1,25 | 1,0625)$

Berechne die Ableitung $p^{'} (x)$ und damit die Steigung $m_{A}$ der Tangente im Punkt $A$ .

$p^{'} (x)$	$=$	$2 x - 2$
	↓	Einsetzen des Wertes
$p^{'} (1,25)$	$=$	$2 \cdot 1,25 - 2$
$p^{'} (1,25)$	$=$	$0,5$
$m_{A}$	$=$	$0,5$

Für die zu $m_{A}$ senkrechte Steigung $m_{B}$ gilt: $m_{A} \cdot m_{B} = - 1$ .

$m_{A} \cdot m_{B}$	$=$	$- 1$
$0,5 \cdot m_{B}$	$=$	$- 1$	$\cdot 2$
$m_{B}$	$=$	$- 2$

Setze den Steigungswert $- 2$ für $p^{'} (x)$ ein und berechne die x-Koordinate $x_{B}$ des gesuchten Punktes $B$

$p^{'} (x)$	$=$	$2 x_{B} - 2$
	↓	Einsetzten von -2
$- 2$	$=$	$2 x_{B} - 2$	$+ 2$
$0$	$=$	$2 x_{B}$
$x_{B}$	$=$	$0$

Setze $x_{B}$ in die Parabelgleichung ein, um $y_{B}$ zu erhalten.

$p (0)$	$=$	$(0 + 1)^{2} + 1$
	$=$	$2$

$\Rightarrow B (0 | 2)$

Stelle die Tangentengleichung in $B$ auf.

$\frac{y - 2}{x - 0}$	$=$	$- 2$	$\cdot x$
$y - 2$	$=$	$- 2 \cdot x$	$+ 2$
$y$	$=$	$- 2 x + 2$

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