Berechne den Berührpunkt B und die Gleichung einer Tangente an die Parabel p(x)=(x−1)2+1 so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt A(1,25∣y) senkrecht ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln berechnen
Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.
Gegeben:
p(x)=(x−1)2+1 und A(1,25∣y)
Gesucht:
Parabelpunkt B(xB∣yB)
Berechne die 2. Koordinate von A durch Einsetzen in die Parabelgleichung.
| p(1,25) | = | (1,25−1)2+1 | |
| = | 1,0625 |
⇒A(1,25∣1,0625)
Berechne die Ableitung p′(x) und damit die Steigung mA der Tangente im Punkt A.
| p′(x) | = | 2x−2 | |
| ↓ | Einsetzen des Wertes | ||
| p′(1,25) | = | 2⋅1,25−2 | |
| p′(1,25) | = | 0,5 | |
| mA | = | 0,5 | |
Für die zu mA senkrechte Steigung mB gilt: mA⋅mB=−1.
| mA⋅mB | = | −1 | |
| 0,5⋅mB | = | −1 | ⋅2 |
| mB | = | −2 |
Setze den Steigungswert −2 für p′(x) ein und berechne die x-Koordinate xB des gesuchten Punktes B
| p′(x) | = | 2xB−2 | |
| ↓ | Einsetzten von -2 | ||
| −2 | = | 2xB−2 | +2 |
| 0 | = | 2xB | |
| xB | = | 0 | |
Setze xB in die Parabelgleichung ein, um yB zu erhalten.
| p(0) | = | (0+1)2+1 | |
| = | 2 |
⇒B(0∣2)
Stelle die Tangentengleichung in B auf.
| x−0y−2 | = | −2 | ⋅x |
| y−2 | = | −2⋅x | +2 |
| y | = | −2x +2 |
