Aufgaben zu Tangenten an Parabeln

Berechne den Berührpunkt $B$ und die Gleichung einer Tangente an die Parabel $p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ so, dass die Tangente zur Tangente im Berührpunkt $A(1{,}25\vert y)$ senkrecht ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangenten an Parabeln berechnen

Die Tangente an einer Parabel ist eine Gerade, welche die Parabel in einem Punkt berührt und deren Steigung der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt ist.

Gegeben:

$p (x) = (x - 1)^{2} + 1$ und $A(1{,}25\vert y)$

Gesucht:

Parabelpunkt $B(x_B\vert y_B)$

Berechne die 2. Koordinate von $A$ durch Einsetzen in die Parabelgleichung.

$\displaystyle p(1{,}25)$	$=$	$\displaystyle (1{,}25-1)^2+1$
	$=$	$\displaystyle 1{,}0625$

$\Rightarrow A(1{,}25|1{,}0625)$

Berechne die Ableitung $p^{'} (x)$ und damit die Steigung $m_{A}$ der Tangente im Punkt $A$ .

$\displaystyle p'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x-2$
	↓	Einsetzen des Wertes
$\displaystyle p'(1{,}25)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot1{,}25-2$
$\displaystyle p'(1{,}25)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$
$\displaystyle m_A$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$

Für die zu $m_{A}$ senkrechte Steigung $m_{B}$ gilt: $m_A\cdot m_B=-1$ .

$\displaystyle m_A\cdot m_B$	$=$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 0{,}5\cdot m_B$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle m_B$	$=$	$\displaystyle -2$

Setze den Steigungswert $- 2$ für $p^{'} (x)$ ein und berechne die x-Koordinate $x_{B}$ des gesuchten Punktes $B$

$\displaystyle p'(x)$	$=$	$\displaystyle 2x_B-2$
	↓	Einsetzten von -2
$\displaystyle -2$	$=$	$\displaystyle 2x_B-2$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2x_B$
$\displaystyle x_B$	$=$	$\displaystyle 0$

Setze $x_{B}$ in die Parabelgleichung ein, um $y_{B}$ zu erhalten.

$\displaystyle p\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle (0+1)^2+1$
	$=$	$\displaystyle 2$

$\Rightarrow B(0\vert2)$

Stelle die Tangentengleichung in $B$ auf.

$\displaystyle \frac{y-2}{x-0}$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \cdot x$
$\displaystyle y-2$	$=$	$\displaystyle -2\cdot x$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -2x\ +2$

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