Lösung 3a

Aufgabenstellung

%%3.%% Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von %%39,5%% % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von %%85%% % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von %%35%% % ebenfalls positiv.

%%a%%) Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (4 BE)

Lösung

Das Stichwort zu dieser Aufgabe ist das Baumdiagramm.

Zunächst musst du dir überlegen, welche beiden Ereignisse hier betrachtet werden. Man liest aus dem Text:

%%A:%% Person leidet an Tierhaarallergie.

%%B:%% Hauttest liefert positives Testergebnis.

Erstelle nun ein Baumdiagramm und trage die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text dort ein.

%%\;%%

%%P(B) = 0,395%%

%%P_A(B) = 0,85%%

%%P_{\overline{A}}(B) = 0,35%%

%%P(A) = p%%

Du möchtest den Wert %%p%% der Wahrscheinlichkeit %%P(A)%% berechnen. Verwende dafür die zweite Pfadregel:

$$P(B) = p\cdot P_A(B) + (1-p)\cdot P_{\overline{A}}(B)$$

Aus dem Baumdiagramm kannst du dir die relevanten Wahrscheinlichkeiten rauslesen. Es folgt:

$$0,395 = p\cdot 0,85 + (1-p)\cdot 0,35$$

Stelle noch nach %%p%% um. Du erhältst:

$$p = 0,09$$

Antwort: Die Anteil der Bevölkerung mit Tierhaarallergie beträgt %%9%% Prozent.

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