4Lösung 3c

Aufgabenstellung

$3.$ Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,5 % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 85 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % ebenfalls positiv.

$a)$ Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (4 BE)

$b)$ Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet. (2 BE)

Lösung

Betrachte die linke und rechte Seite des Terms $0{,}09\cdot0{,}15 + 0{,}91\cdot 0{,}35$ zunächst seperat.

Es ist in diesem Fall hilfreich, das Baumdiagramm aus der Teilaufgabe $a)$ zu verwenden.

linker Term

Die linke Seite des Terms entspricht laut Baumdiagramm dem Ereignis $A\cap \overline{B}$.

Interpretation: Eine Person leidet an einer Tierallergie und hat ein negatives Testergebnis.

rechter Term

Die rechte Seite des Terms entspricht laut Baumdiagramm dem Ereignis $\overline{A}\cap B$:

Interpretation: Eine Person leidet nicht an der Tierallergie und hat ein positives Testergebnis.

gesamter Term

Die Summe der beiden Terme entspricht also dem Ereignis $(A\cap \overline{B})\cup(\overline{A}\cap B)$.

Interpreation: Eine Person erhält ein falsches Testergebnis.