Teil B, Gruppe 1 - lernen mit Serlo!

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Ein Werkstück besteht aus einem Halbzylinder und einer quadratischen Pyramide ( $h_p$ = 16 cm ; $h_s$ = 20 cm).

Berechne das Volumen des Werkstücks. (4 Punkte)

Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabgetreu.

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[https://youtu.be/3W6O1N9SbUQ]

Lösung zur Aufgabe 4

Für die Lösung benötigst du Kenntnisse über die Volumenberechnung. Du solltest die Formel für das Volumen einer Pyramide und eines Zylinders kennen. Zusätzlich brauchst du den Satz des Pythagoras.

Das Volumen des Werkstücks setzt sich aus zwei Teilen zusammen, die du nacheinander ausrechnen kannst.

Volumen der Pyramide

Berechne zuerst das Volumen der Pyramide: $V=\frac13\cdot G\cdot h$

Die Höhe ist bereits angegeben. Du benötigst noch die Grundfläche und dafür die Länge einer Grundseite. Die fehlende Seite kannst du mit Hilfe des Satz des Pythagoras ausrechnen.

Du verwendest diesen im orangen rechtwinkligen Dreieck, um die Länge der lilanen Strecke $x$ zu bestimmen. $h_S$ ist die Hypotenuse, $h_P$ und $x$ sind die beiden Katheten.

$\displaystyle x^2+h_P^2$	$=$	$\displaystyle h_S^2$	$\displaystyle -h_P^2$
	↓	Löse nach x auf.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle h_S^2-h_P^2$	$\displaystyle \sqrt{(})$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{h_S^2-h_P^2}$
	↓	Setze die Werte ein und berechne.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{{20}^{2} - {16}^{2}}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{400-256}= \sqrt{144}=12$

Berechne aus dem Ergebnis die Seitenlänge (l) der Grundfläche, indem du x verdoppelst.

$\displaystyle l$	$=$	$\displaystyle 2\cdot x$
	↓	Setze für $x$ den Wert $12$ cm ein.
$\displaystyle l$	$=$	$\displaystyle 2\cdot12 \ \text{cm} = 24\ \text{cm}$

Berechne die Grundfläche (G) der Pyramide. Da es sich um ein Quadrat handelt, kannst du die Seitenlänge quadrieren.

$G = 24\,cm \cdot 24\,cm = 576 {cm}^{2}$

Berechne nun das Volumen der Pyramide ( ${V}_{p}$ ), indem du in die berechneten Werte in die Formel einsetzt.

$\displaystyle V_p$	$=$	$\displaystyle \textcolor{ff6600}G\cdot \textcolor{009999}h:3$
	$=$	$\displaystyle \textcolor{ff6600}{576 \ \text{cm}^{2} } \cdot \textcolor{009999}{16\ \text{cm}} : 3$
	$=$	$\displaystyle 9216 \ \text{cm}^{3} : 3 = 3072 \ \text{cm}^{3}$

Volumen des Zylinders

Der zweite Teil des Werkstücks ist ein halber Zylinder. Die Volumenformel für einen ganzen Zylinder ist ${V}_{Z}$ $=$ ${r}^{2}$ $\cdot$ $\mathrm\pi$ $\cdot h$ .

Halbzylinder mit markierter Höhe und Radius

Du kannst auf dem Bild erkennen, dass der Radius $x$ entspricht und somit $12$ cm lang ist und die Höhe $l$ entspricht, also $24$ cm lang ist.

Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:

$\displaystyle V_Z$	$=$	$\displaystyle \textcolor{ff6600} {{r}^{2} }\cdot \textcolor{009999}{\mathrm\pi} \cdot \textcolor{660099} h$
	$=$	$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\left(12 \ \text{cm}\right)^{2}} \cdot \textcolor{009999}{3{,}14} \cdot \textcolor{660099}{24\, \text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle \textcolor{ff6600}{144 \ \text{cm}^{2}} \cdot\textcolor{009999} {3{,}14}\cdot \textcolor{660099} {24 \text{cm}}$
	$=$	$\displaystyle 10851{,}84 {cm}^{3}$

Teile nun das Ergebnis durch 2, um das Volmen des Halbzylinders ( ${V}_{Hz}$ ) zu erhalten.

$\displaystyle {V}_{Hz}$	$=$	$\displaystyle V_Z :2$
	$=$	$\displaystyle 10851{,}84 \ \text{cm}^{3} : 2$
	$=$	$\displaystyle 5425{,}92 \ \text{cm}^{3}$

Addiere das Pyramiden- ${V}_{P}$ und das Halbzylindervolumen ${V}_{Hz}$ , um das Gesamtvolumen ${V}_{G}$ zu erhalten.

$\displaystyle V_G$	$=$	$\displaystyle V_p+V_{Hz}$
	$=$	$\displaystyle 3072 \ \text{cm}^{3} + 5425{,}92 \ \text{cm}^{3}$
	$=$	$\displaystyle 8497{,}92 \ \text{cm}^{3}$

Das Werkstück ist insgesamt $8497{,}92$ $\text{cm}^{3}$ groß.

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