Teil B, Gruppe 1

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

Löse folgende Gleichung. (4 Punkte)
﻿3⋅(1,5x−2,5)−(3x−5)+(3,5x+7):0,2=12,5x3\cdot(1,5x-2,5)-(3x-5)+(3,5x+7) : 0,2 = 12,5x3⋅(1,5x−2,5)−(3x−5)+(3,5x+7):0,2=12,5x﻿

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Für diese Aufgabe musst du wissen, wie du Terme vereinfachst, also Klammern ausmultiplizieren und Terme addieren und subtrahieren können.

Videolösung

Textlösung

﻿
3⋅(1,5x−2,5)−(3x−5)+(3,5x+7):0,2=12,5x\displaystyle 3\cdot (1,5x-2,5)-(3x-5)+(3,5x+7):0,2=12,5x3⋅(1,5x−2,5)−(3x−5)+(3,5x+7):0,2=12,5x

Löse die erste Klammer auf, indem du beide Zahlen mit 333 multiplizierst.

﻿
4,5x−7,5−(3x−5)+(3,5x+7):0,2=12,5x\displaystyle 4,5x-7,5-(3x-5)+(3,5x+7):0,2=12,5x4,5x−7,5−(3x−5)+(3,5x+7):0,2=12,5x

Löse die 2.Klammer auf, indem du die Vorzeichen von jedem Summanden zum anderen Vorzeichen umänderst.

﻿
4,5x−7,5−3x+5+(3,5x+7):0,2=12,5x\displaystyle 4,5x-7,5-3x+5+(3,5x+7):0,2=12,5x4,5x−7,5−3x+5+(3,5x+7):0,2=12,5x

Fasse schon so weit wie möglich zusammen.

﻿
1,5x−2,5+(3,5x+7):0,2=12,5x\displaystyle 1,5x-2,5+(3,5x+7):0,2=12,5x1,5x−2,5+(3,5x+7):0,2=12,5x

Löse die letzte Klammer auf, indem du beide Zahlen durch 0,20,20,2 dividierst.

﻿
1,5x−2,5+17,5x+35=12,5x\displaystyle 1,5x-2,5+17,5x+35=12,5x1,5x−2,5+17,5x+35=12,5x

Vereinfache.

﻿
19x+32,5=12,5x\displaystyle 19x+32,5=12,5x 19x+32,5=12,5x

Löse diese Gleichung nun auf. Ziehe dazu auf beiden Seiten 19x19x19x ab und teile beide Seiten durch −6,5-6,5−6,5:

﻿
19x+32,5=12,5x∣−19x32,5=−6,5x∣:(−6,5)x=−5\displaystyle \begin{array}{rcll}
19x+32,5&=&12,5x &|-19x \\
32,5&=&-6,5x &|:(-6,5) \\
x&=&-5
\end{array}19x+32,532,5x​===​12,5x−6,5x−5​∣−19x∣:(−6,5)​

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Raphael möchte am Ende seiner Lehrzeit nach Südamerika reisen. (4 Punkte)

a) Neun Monate lang spart er für diese Reise. Monatlich spart er 120€. Seine Oma schenkt ihm zusätzlich noch ein Drittel des von ihm gesparten Gesamtbetrages. Berechne, welchen Betrag er dann insgesamt zur Verfügung hat.

b) Seine Eltern legen für ihn einmalig neun Monate lang einen Betrag von 1500€ zum Zinssatz von 1,2% bei der Bank an. Ermittle rechnerisch, wie viel Geld er einschließlich der Zinsen nach dieser Zeit von seinen Eltern erhält.

c) Raphael nimmt an, dass die Reise insgesamt 3500€ kostet. Darin ist ein Betrag von 500€ als "Taschengeld" eingeplant. Berechne den Prozentsatz des Taschengeldes an den gesamten Reisekosten.

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Teilaufgabe a)

Berechne wie viel Geld Raphael über die 9 Monate gespart hat. Multipliziere dazu den monatlich gesparten Betrag (120€) mit der Anzahl der Monate (9).

%%9 \cdot 120€ = 1080€%%

Teile das Ergebnis durch 3, um den Betrag der Oma zu erhalten.

%%1080€ : 3 = 360€%%

Addiere nun die beiden Ergebnisse, um den gesamten Wert zu erhalten.

%%1080€ + 360€ = 1440€%%
%%\Rightarrow%% Raphael hat insgesamt %%1440€%% zur Verfügung.

Teilaufgabe b)

Für diese Teilaufgabe musst du dich mit Zinsrechnung (Z) auskennen.

Stelle eine Formel für Z auf.

Z = Geldbetrag %%\cdot%% Zinssatz%%\cdot%% Zeit

Nun kannst du die Werte einsetzen.
Der Geldbetrag muss in Euro angegeben werden ( %%1500€%%).
Der Zinssatz in Hundertsteln (%%\frac{1,2}{100}%%).
Die Zeit in dem Anteil von 12 Monaten, 9 von 12 Monate kann man als Anteil als Bruch %%\frac{9}{12}%% schreiben.

%%Z =1500€\cdot\frac{1,2}{100}\cdot\frac9{12}%%

Berechne die Multiplikation

%%= (1500€ \cdot 1,2 \cdot 9) : (100 \cdot 12)%%

%%= (1800€ \cdot 9) : (1200)%%

%%= (18€ \cdot 9) : 12%%

%%= 162€ : 12 = 13,5€%%

Addiere das Ergebnis zum ursprünglichen Betrag von %%1500€%%.

%%1500€ + 13,5€ = 1513,50€%%
%%\Rightarrow%% Nach der Zeit erhält er von seinen Eltern %%1513,50€%%.

Teilaufgabe c)

Hier musst du Prozentrechnung mittels Formeln oder Prozentrechnung mittels Dreisatz beherrschen.

Du möchtest wissen, wie viel Prozent %%500€%% sind, wenn du %%3500€%% hast. Du willst also den Prozentsatz (P) berechnen. Dafür schreibst du zum Beispiel die Prozentformel für den Prozentsatz auf.

%%\text{Prozentsatz}=\displaystyle\frac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}%%

Setze den Prozentwert %%500€%% und den Grundwert %%3500€%% ein und berechne das Ergebnis.

%%500€ : 3500€ ≈ 0,1428%%

Rechne das Ergebnis in Prozent (%) um, indem du das Komma um 2 Stellen nach rechts verschiebst oder indem du es mit %%100%% multiplizierst. Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

%%0,1428 ≈ 14,3\%%%
%%\Rightarrow%% Der Prozentsatz beträgt %%14,3 \%%%.

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Herr Huber macht mit seiner kleinen Tochter Sofia eine Radtour. Mit seinem Herrenrad legt er pro Pedalumdrehung (siehe Skizze) 4,50m zurück.

Sofia schafft mit ihrem Kinderrad nur 2,50m pro Pedalumdrehung. (4 Punkte)

a) Bestimme die fehlenden Werte.

Herr Huber


Pedalumdrehungen	80	150
zurückgelegte Strecke in m	360	675	900

Sofia


Pedalumdrehungen	40	150	350
zurückgelegte Strecke in m		375	875

b) Stelle jeweils den Graphen für Sofia und ihren Vater in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar.

Rechtswertachse: 50 Pedalumdrehungen ≙ 1cm Hochwertachse: 100 Meter ≙ 1cm

c) Die Radtour endet nach 3,6km. Berechne, wie viele Pedalumdrehungen Sofia mehr machen musste als ihr Vater.

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Teilaufgabe a)

Für diese Aufgabe solltest du wissen, wie du mit einer Dezimalzahl multiplizierst und durch eine Dezimalzahl dividierst.

Herr Hubert: Teile die in der Tabelle angegebene Strecke durch die Strecke pro Pedalumdrehung, die in der Aufgabenstellung steht.

%%H: 900m : 4,5m = 200%%

Sofia: Multipliziere die Umdrehungszahl, die in der Tabelle steht, mit der Strecke der Pedalumdrehungen aus der Aufgabenstellung.

%%S: 40⋅2,5m = 100m%%

Also sind in den Tabellen %%200%% Umdrehungen für Herr Huber und %%100%% m für Sofia zu ergänzen.

Teilaufgabe b)

Übertrage die Werte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem. Trage die Pedalumdrehungen auf der x-Achse und die Wegstrecke in Metern auf der y-Achse auf. Teile die Achsen sinnvoll ein, das heißt, schau darauf, dass die größten Werte (%%350%% Pedalumdrehungen und %%900%% m) jeweils noch auf den Achsen eingezeichnet werden können.

Trage die Punkte ein, in dem du die Umdrehungen in %%x%%-Richtung einträgst und gleichzeitig die dabei zurückgelegte Wegstrecke in %%y%%-Richtung. Verbinde die Punkte von Herrn Hubert und Sofia zu jeweils einer Geraden.

Teilaufgabe c)

Hier solltest du die Umrechnung von Kilometern in Meter und die Division durch einen Dezimalbruch beherrschen.

Berechne, wie viele Pedalumdrehungen jeder der beiden auf einer Strecke von %%3,6%% km macht. Dazu musst du als erstes %%3,6%% km in Meter umrechnen, da man nur gleiche Einheiten durcheinander teilen darf.

%%1km = 1000m \\ → 3,6km = 3,6 ⋅ 1000m = 3600m%%

Teile die Strecke %%3600%% m durch die Strecke pro Pedalumdrehung für Herrn Hubert und Sofia.

%%H: 3600m : 4,5m = 800%% %%S: 3600m : 2,5m = 1440%%

Ziehe die Pedalumdrehungen von Herrn Hubert von Sofias ab, um zu wissen, wie viele Umdrehungen sie mehr machen muss.

%%1440 - 800 = 640%%

→ Sofia macht %%640%% Umdrehungen mehr als Herr Hubert.

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Ein Werkstück besteht aus einem Halbzylinder und einer quadratischen Pyramide (hph_php​ = 16 cm ; hsh_shs​ = 20 cm).
Berechne das Volumen des Werkstücks. (4 Punkte)
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabgetreu.

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Lösung zur Aufgabe 4Für die Lösung benötigst du Kenntnisse über die Volumenberechnung. Du solltest die Formel für das Volumen einer Pyramide und eines Zylinders kennen. Zusätzlich brauchst du den Satz des Pythagoras.
Das Volumen des Werkstücks setzt sich aus zwei Teilen zusammen, die du nacheinander ausrechnen kannst.
Volumen der PyramideBerechne zuerst das Volumen der Pyramide: V=13⋅G⋅hV=\frac13\cdot G\cdot hV=31​⋅G⋅h﻿
Die Höhe ist bereits angegeben. Du benötigst noch die Grundfläche und dafür die Länge einer Grundseite. Die fehlende Seite kannst du mit Hilfe des Satz des Pythagoras ausrechnen. 
Du verwendest diesen im orangen rechtwinkligen Dreieck, um die Länge der lilanen Strecke xxx zu bestimmen. hSh_ShS​ ist die Hypotenuse, hPh_PhP​ und xxx sind die beiden Katheten.

$x^2+h_P^2$	$=$	$h_S^2$	\| $-h_P^2$
	↓	Löse nach x auf.
$x^2$	$=$	$h_S^2-h_P^2$	\| $\sqrt{(})$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$x$	$=$	$\sqrt{h_S^2-h_P^2}$
	↓	Setze die Werte ein und berechne.
$x$	$=$	$\sqrt{{20}^{2} - {16}^{2}}$
	$=$	$\sqrt{400-256}= \sqrt{144}=12$

Berechne aus dem Ergebnis die Seitenlänge (l) der Grundfläche, indem du x verdoppelst.

Bild zur Veranschaulichung

Einzeichnung der Seitenlänge des Werkstücks

$l$	$=$	$2\cdot x$
	↓	Setze für $x$ den Wert $12$ cm ein.
$l$	$=$	$2\cdot12 \ \text{cm} = 24\ \text{cm}$

Berechne die Grundfläche (G) der Pyramide. Da es sich um ein Quadrat handelt, kannst du die Seitenlänge quadrieren.

﻿G=24 cm⋅24 cm=576cm2G = 24\,cm \cdot 24\,cm = 576 {cm}^{2}G=24cm⋅24cm=576cm2﻿

Berechne nun das Volumen der Pyramide (Vp{V}_{p}Vp​), indem du in die berechneten Werte in die Formel einsetzt.

$V_p$	$=$	$\textcolor{ff6600}G\cdot \textcolor{009999}h:3$
	$=$	$\textcolor{ff6600}{576 \ \text{cm}^{2} } \cdot \textcolor{009999}{16\ \text{cm}} : 3$
	$=$	$9216 \ \text{cm}^{3} : 3 = 3072 \ \text{cm}^{3}$

Volumen des ZylindersDer zweite Teil des Werkstücks ist ein halber Zylinder. Die Volumenformel für einen ganzen Zylinder ist VZ{V}_{Z}VZ​ === r2{r}^{2}r2 ⋅\cdot⋅ π\mathrm\piπ ⋅h\cdot h⋅h.

Halbzylinder mit markierter Höhe und Radius

Du kannst auf dem Bild erkennen, dass der Radius xxx entspricht und somit 121212 cm lang ist und die Höhe lll entspricht, also 242424 cm lang ist.
Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:

$V_Z$	$=$	$\textcolor{ff6600} {{r}^{2} }\cdot \textcolor{009999}{\mathrm\pi} \cdot \textcolor{660099} h$
	$=$	$\textcolor{ff6600}{\left(12 \ \text{cm}\right)^{2}} \cdot \textcolor{009999}{3,14} \cdot \textcolor{660099}{24\, \text{cm}}$
	$=$	$\textcolor{ff6600}{144 \ \text{cm}^{2}} \cdot\textcolor{009999} {3,14}\cdot \textcolor{660099} {24 \text{cm}}$
	$=$	$10851,84 {cm}^{3}$

Teile nun das Ergebnis durch 2, um das Volmen des Halbzylinders (VHz{V}_{Hz}VHz​) zu erhalten.

${V}_{Hz}$	$=$	$V_Z :2$
	$=$	$10851,84 \ \text{cm}^{3} : 2$
	$=$	$5425,92 \ \text{cm}^{3}$

Addiere  das Pyramiden- VP{V}_{P}VP​ und  das Halbzylindervolumen VHz{V}_{Hz}VHz​, um das Gesamtvolumen VG{V}_{G}VG​ zu erhalten.

$V_G$	$=$	$V_p+V_{Hz}$
	$=$	$3072 \ \text{cm}^{3} + 5425,92 \ \text{cm}^{3}$
	$=$	$8497,92 \ \text{cm}^{3}$

Das Werkstück ist insgesamt 8497,928497,928497,92 cm3\text{cm}^{3}cm3 groß.

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