Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Extremwerte einer Funktion berechnet.

Gegeben ist die Funktion

$T_1(x)=-2(x-3{)}^2+5^{}T\_1(x)=-2(x-3)^2+5^\{\}$

$T_1(x)=-2(x^2-6x+9)+5=-2x^2+12x-18+5=-2x^2+12x-13T\_1(x)=-2(x^2-6x+9)+5=-2x^2+12x-18+5=-2x^2+12x-13$

Bestimme das Extremum mit Hiilfe der 1. Ableitung.

$T_1^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x+12T\text{'}\_1(x)=-4x+12$

$\begin{array}{c}{T}_1^{\mathrm{\prime }}(0)=0=>\\ 0=-4x+12=>\\ 4x=12=>\\ x=3\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}T\text{'}\_1(0)=0\backslash ;=>\backslash ;\backslash \backslash 0=-4x+12\backslash ;=>\backslash \backslash 4x=12\backslash ;=>\backslash \backslash x=3\backslash end\{array\}$

$x_E=3x\_E=3$

Bestimme die Art des Extremums mit Hilfe der 2. Ableitung.

$T_1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4T\text{'}\text{'}\_1(x)=-4$

$T_1^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_E)=-4>0T\text{'}\text{'}\_1(x\_E)=-4>0$

Der Extremwert ist ein Maximum.

Bestimme die $yy$ Koordinate des Extremums.

Setze $x_{E}x\_E$ in $T_1(x)T\_1(x)$ ein.

$T_1(3)=-2(3-3{)}^2+5=5T\_1(3)=-2(3-3)^2+5=5$

$T_{max}=5f\ddot{u}rx=3T\_\{max\}=5\backslash ;\backslash ;für\backslash ;\backslash ;x=3$

Gegeben ist die Funktion

$T_2(x)=3(x+5{)}^2-2^{}T\_2(x)=3(x+5)^2-2^\{\}$

$T_2(x)=3(x^2+10x+25)-2=3x^2+30x+75+-2=3x^2+30x+73T\_2(x)=3(x^2+10x+25)-2=3x^2+30x+75+-2=3x^2+30x+73$

Bestimme das Extremum mit Hilfe der 1. Ableitung.

$T_2^{\mathrm{\prime }}(x)=6x+30T\text{'}\_2(x)=6x+30$

$\begin{array}{c}{T}_2^{\mathrm{\prime }}(0)=0=>\\ 0=6x+30=>\\ 6x=-30=>\\ x=-5\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}T\text{'}\_2(0)=0\backslash ;=>\backslash ;\backslash \backslash 0=6x+30\backslash ;=>\backslash \backslash 6x=-30\backslash ;=>\backslash \backslash x=-5\backslash end\{array\}$

$x_E=-5x\_E=-5$

Bestimme die Art des Extremums mit Hilfe der 2. Ableitung.

$T_2^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6T\text{'}\text{'}\_2(x)=6$

$T_2^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x_E)=6>0T\text{'}\text{'}\_2(x\_E)=6>0$

Der Extremwert ist ein Minimum.

Bestimme die $yy$-Koordinate des Extremums.

Setze $x_{E}x\_E$ in $T_2(x)T\_2(x)$ ein.

$T_2(-5)=3(-5+5{)}^2-2=-2T\_2(-5)=3(-5+5)^2-2=-2$

$T_{min}=-2\text{f}\ddot{\text{u}}\text{r}x=-5T\_\{min\}=-2\backslash ;\backslash ;\backslash text\{für\}\backslash ;\backslash ;x=-5$