Für diese Aufgabe musst du wissen, wie man die Extremwerte einer Funktion berechnet.

Gegeben ist die Funktion

$T_1(x)=-2(x-3)^2+5^{}$

$T_1(x)=-2(x^2-6x+9)+5=-2x^2+12x-18+5=-2x^2+12x-13$

Bestimme das Extremum mit Hiilfe der 1. Ableitung.

$T'_1(x)=-4x+12$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}T'_1(0)=0\;=>\;\\0=-4x+12\;=>\\4x=12\;=>\\x=3\end{array}$

$x_E=3$

Bestimme die Art des Extremums mit Hilfe der 2. Ableitung.

$T''_1(x)=-4$

$T''_1(x_E)=-4>0$

Der Extremwert ist ein Maximum.

Bestimme die $y$ Koordinate des Extremums.

Setze $x_E$ in $T_1(x)$ ein.

$T_1(3)=-2(3-3)^2+5=5$

$T_{max}=5\;\;für\;\;x=3$

Gegeben ist die Funktion

$T_2(x)=3(x+5)^2-2^{}$

$T_2(x)=3(x^2+10x+25)-2=3x^2+30x+75+-2=3x^2+30x+73$

Bestimme das Extremum mit Hilfe der 1. Ableitung.

$T'_2(x)=6x+30$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}T'_2(0)=0\;=>\;\\0=6x+30\;=>\\6x=-30\;=>\\x=-5\end{array}$

$x_E=-5$

Bestimme die Art des Extremums mit Hilfe der 2. Ableitung.

$T''_2(x)=6$

$T''_2(x_E)=6>0$

Der Extremwert ist ein Minimum.

Bestimme die $y$-Koordinate des Extremums.

Setze $x_E$ in $T_2(x)$ ein.

$T_2(-5)=3(-5+5)^2-2=-2$

$T_{min}=-2\;\;\text{für}\;\;x=-5$