Kandidaten für Extremstellen der Ableitung suchen

Da an den Stellen lokal stärkster Zu-/Abnahme die lokale Änderungsrate extremal sein muss, werden die Extremstellen der Ableitung gesucht.

Dazu muss die Funktion g zweimal abgeleitet werden und die Nullstellen der zweiten Ableitung gefunden werden:

(Nebeneffekt: Die Stellen lokal stärkster Zu-/Abnahme sind immer Wendestellen der Funktion, aber nicht jede Wendestelle ist eine Stelle lokal stärkster Zu-/Abnahme)

Ergebnis: Es sind alle Kandidaten für Extremstellen von $G_{f^{\prime }}$ bekannt.

Art der Extremstellen ermitteln

Insgesamt muss überprüft werden, ob die gefundenen Extrempunkte Hochpunkte oder Tiefpunkte sind, denn nur wenn ein Hochpunkt oberhalb der x-Achse oder ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse liegt, handelt es sich jeweils um eine Stelle lokal stärkster Zunahme oder lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zu- oder Abnahme).

Die Art der Extremstelle kann z.B. ermittelt werden über:

• Monotonietabelle für $G_{f^{\prime }}$

• Einsetzen der Extremstellen-Kandidaten in $G_{f^{\prime \prime \prime }}$ und Untersuchung des Vorzeichens

Beachte dabei, dass nicht wie gewohnt $G_f$ untersucht wird, sondern eben $G_{f^{\prime }}$

Ergebnis: Du weißt, welche Extrempunkte Hochpunkte, Tiefpunkte oder Terrassenpunkte sind.

Wert der lokalen Änderungsrate bei Extremstellen ermitteln

Damit man bei einem Hochpunkt von einer stärksten Zunahme sprechen kann, muss überhaupt eine Zunahme vorliegen. Das bedeutet, dass die lokale Änderungsrate bzw Steigung positiv sein muss (analog bei Abnahme).

Deshalb wird die lokale Änderungsrate der gefundenen Stellen $x_1,x_2,...$ berechnet:

Zusammensetzen der Ergebnisse

Kombiniere nun die Ergebnisse aus dem 2. und 3. Schritt:

• Hat der Graph der Ableitung einen Hochpunkt, der oberhalb der x-Achse liegt, so liegt eine Stelle lokal stärkster Zunahme vor

• Hat der Graph der Ableitung einen Tiefpunkt, der unterhalb der x-Achse liegt, so liegt eine Stelle lokal stärkster Abnahme vor