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Kreissektor (Peter)

Hier lernst du diese Dinge und Begriffe kennen:

Was ist ein Kreissektor?

Ein Kreissektor ist eine Teilfläche des Kreises. Sie wird von einem Kreisbogen und zwei daran angrenzenden Strecken zum Mittelpunkt (Radien) gebildet wird.

Anschaulich sieht ein Kreissektor aus wie ein Käsestück von oben betrachtet. Auch der Rest des Käses hat die Form eines Kreissektors.

Dasselbe gilt für ein Stück einer runden Torte.

Bild

Wie formuliert man das mathematisch?

DefinitionKreissektor

Ein Kreissektor ist ein Teil eines Kreises zwischen einem Kreisbogen[Link fehlt noch] und zwei Strecken, die von den Endpunkten zum Kreismittelpunkt gehen.

Der Winkel zwischen den Strecken wird Mittelpunktswinkel genannt.

Bild

Im Bild siehst du die Teile eines Kreissektors. Die beiden Strecken haben die Länge des Radius r.

Besondere Kreissektoren sind Halb- und Viertelkreis:

Bild

Fläche eines Kreissektors

Der Mittelpunktswinkel eines Halbkreises (180°) ist halb so groß wie der eines ganzen Kreises (360°). Und die Fläche eines Halbkreises ist auch halb so groß wie die eines ganzen Kreises.

Der Mittelpunktswinkel eines Viertelkreises(90°) ist ein Viertel so groß wie der eines ganzen Kreises (360°). Und die Fläche eines Viertelkreises ist auch ein Viertel der Fläche eines ganzen Kreises.

Das ist auch allgemein so:

MerkeFläche eines Kreissektors

Die Fläche ASektor eines Kreissektors mit Radius r ist proportional zum Mittelpunktswinkel α:

=α360ASektorSektorfläche=α360Winkelanteilα360πr2Kreisfläche

Die Fläche des Kreissektors ist ein Teil der Kreisfläche. Das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Kreissektors entspricht dem Verhältnis zwischen Mittelpunktswinkel α und dem Gesamtwinkel mit 360°.

Beispiel: Ein Kreis hat den Radius r=9cm. Welche Fläche hat ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel α=60?

Lösung: du musst nur r und α in die Formel einsetzen:

A=60360π(12cm)2

Kürze die Gradzahlen

=π12cm12cm6

Kürze 12 und 6

=π12cm2cm

Multipliziere aus

=24cm2π

Benutze den Taschenrechner

75,4cm2

Die Fläche des Sektors beträgt etwa 75,4cm2.

Beispiel zum Ausprobieren

Mit dem Schieberegler kannst du den Winkel eines Kreissektors einstellen. Schätze, bei welchem Winkel der Sektor die halbe Fläche des Quadrats hat.

Weiter unten wird der Winkel berechnet, und du kannst sehen, wie gut du geschätzt hast.

Formeln

In der Formel für die Fläche des Kreissektors sind die Werte der Fläche, des Mittelpunktswinkels und des Radius. Du kannst diese Formel auch nach dem Radius r oder dem Mittelpunktswinkel α umstellen:

Gesuchter Wert

Fläche ASektor

ASektor=α360πr2

Radius r

r=ASektor360απ

Mittelpunktswinkel α

α=ASektor360πr2

Beispiele

Die Lösung der Aufgabe zum Schätzen

Das Quadrat hat eine Kantenlänge von 2cm, darum ist die Fläche

AQuadrat=2cm2cm=4cm2. Der Kreissektor soll also eine Fläche von 2cm2 haben.

Der Kreissektor hat einen Radius der Länge 1cm. Jetzt kannst du den Mittelpunktswinkel α mit der dritten Formel ausrechnen:

α=ASektor360r2π=2cm2360(1cm)2π=2360π229

Und? Warst du nahe dran? Alles zwischen 220 und 240 ist ziemlich gut.


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