Kreissektor (Peter) - lernen mit Serlo!

Hier lernst du diese Dinge und Begriffe kennen:

Was ist ein Kreissektor?
Wie formuliert man das mathematisch?
Fläche des Kreissektors
Ein Beispiel zum selbst ausprobieren
Formeln
Beispiele
Aufgaben [Hier wird ein Link zu den Aufgaben sein]

Was ist ein Kreissektor?

Ein Kreissektor ist eine Teilfläche des Kreises. Sie wird von einem Kreisbogen und zwei daran angrenzenden Strecken zum Mittelpunkt (Radien) gebildet wird.

Anschaulich sieht ein Kreissektor aus wie ein Käsestück von oben betrachtet. Auch der Rest des Käses hat die Form eines Kreissektors.

Dasselbe gilt für ein Stück einer runden Torte.

Wie formuliert man das mathematisch?

DefinitionKreissektor

Ein Kreissektor ist ein Teil eines Kreises zwischen einem Kreisbogen[Link fehlt noch] und zwei Strecken, die von den Endpunkten zum Kreismittelpunkt gehen.

Der Winkel zwischen den Strecken wird Mittelpunktswinkel genannt.

Im Bild siehst du die Teile eines Kreissektors. Die beiden Strecken haben die Länge des Radius $r$ .

Besondere Kreissektoren sind Halb- und Viertelkreis:

Fläche eines Kreissektors

Der Mittelpunktswinkel eines Halbkreises (180°) ist halb so groß wie der eines ganzen Kreises (360°). Und die Fläche eines Halbkreises ist auch halb so groß wie die eines ganzen Kreises.

Der Mittelpunktswinkel eines Viertelkreises(90°) ist ein Viertel so groß wie der eines ganzen Kreises (360°). Und die Fläche eines Viertelkreises ist auch ein Viertel der Fläche eines ganzen Kreises.

Das ist auch allgemein so:

MerkeFläche eines Kreissektors

Die Fläche $A_\text{Sektor}$ eines Kreissektors mit Radius $r$ ist proportional zum Mittelpunktswinkel $\alpha$ :

\displaystyle =\underbrace{\vphantom{\dfrac{\alpha}{360^\circ}}A_\text{Sektor}}_\text{Sektorfläche}=\underbrace{\dfrac{\alpha}{360^\circ}}_\text{Winkelanteil}\cdot\underbrace{\vphantom{\dfrac{\alpha}{360^\circ}}\pi\cdot r^2}_\text{Kreisfläche}

Die Fläche des Kreissektors ist ein Teil der Kreisfläche. Das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Kreissektors entspricht dem Verhältnis zwischen Mittelpunktswinkel $\alpha$ und dem Gesamtwinkel mit $360 °$ .

Beispiel: Ein Kreis hat den Radius $r=9\,\text{cm}$ . Welche Fläche hat ein Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $\alpha=60^\circ$ ?

Lösung: du musst nur $r$ und $\alpha$ in die Formel einsetzen:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \frac{60^\circ}{360^\circ}\cdot\pi\cdot(12\, \text{cm})^2$
	↓	Kürze die Gradzahlen
	$=$	$\displaystyle \frac{\pi\cdot12\,\text{cm}\cdot12\,\text{cm}}{6}$
	↓	Kürze $12$ und $6$
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot12\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle 24\,\text{cm}^2\cdot\pi$
	↓	Benutze den Taschenrechner
	$\approx ≈$	$\displaystyle 75{,}4\,\text{cm}^2$

Die Fläche des Sektors beträgt etwa $75{,}4\, \text{cm}^2$ .

Beispiel zum Ausprobieren

Mit dem Schieberegler kannst du den Winkel eines Kreissektors einstellen. Schätze, bei welchem Winkel der Sektor die halbe Fläche des Quadrats hat.

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Weiter unten wird der Winkel berechnet, und du kannst sehen, wie gut du geschätzt hast.

Formeln

In der Formel für die Fläche des Kreissektors sind die Werte der Fläche, des Mittelpunktswinkels und des Radius. Du kannst diese Formel auch nach dem Radius $r$ oder dem Mittelpunktswinkel $\alpha$ umstellen:

Gesuchter Wert
Fläche $A_\text{Sektor}$	$A_\text{Sektor}=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi\cdot r^2$
Radius $r$	$\displaystyle r=\sqrt{\dfrac{A_\text{Sektor}\cdot 360^\circ}{\alpha \cdot \pi}}$
Mittelpunktswinkel $\alpha$	$\alpha=\dfrac{A_\text{Sektor}\cdot 360^\circ}{\pi\cdot r^2}$

Beispiele

Die Lösung der Aufgabe zum Schätzen

Das Quadrat hat eine Kantenlänge von $2\,\text{cm}$ , darum ist die Fläche

$A_\text{Quadrat}=2\,\text{cm}\cdot2\,\text{cm}=4\,\text{cm}^2$ . Der Kreissektor soll also eine Fläche von $2\,\text{cm}^2$ haben.

Der Kreissektor hat einen Radius der Länge $1\,\text{cm}$ . Jetzt kannst du den Mittelpunktswinkel $\alpha$ mit der dritten Formel ausrechnen:

\displaystyle \alpha=\frac{A_{\text{Sektor}}\cdot360^{\circ}}{r^2\cdot\pi}=\frac{2\,\text{cm}^2\cdot360^\circ}{(1\,\text{cm})^2\cdot\pi}=\frac{2\cdot360^\circ}{\pi}\approx 229^\circ

Und? Warst du nahe dran? Alles zwischen $220^\circ$ und $240^\circ$ ist ziemlich gut.