Wiederholungsaufgaben ganzrationale Funktionen und Kurvendiskussion

Falls du nicht weißt, dass eine Parabel immer achsensymmetrisch zu einer senkrechten Gerade durch ihren Scheitelpunkt ist, kannst du wie folgt vorgehen:

Verwende die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ für eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

Da der Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt, gilt $d=0$, denn die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist 0.

Somit kann der Term in Scheitelpunktform vereinfacht werden:

$f(x)=a(x-0)^2+e=ax^2+e$.

Da $a$ und $e$ beides Konstanten sind, gibt es nur Vorkommen von x mit geradem Exponenten (nämlich $x^2)$. Somit ist die Funktion achsensymmetrisch.

Der Satz vom Nullprodukt erlaubt dir, jeden Faktor eines Produkts einzeln auf Nullstellen zu untersuchen. Dadurch sparst du dir viel Zeit, denn sonst müsstest du den Term erstmal komplett ausmultiplizieren und dann vermutlich schwerere Lösungsverfahren benutzen.

Im obigen Beispiel sieht der Satz vom Nullprodukt wie folgt aus:

Zunächst setzt du die Funktion mit 0 gleich, damit du die Nullstellen bestimmst:

$0=f(x)\\ 0=-2x(x+1)(x-3)^2$

bzw.

$0=-2\cdot x\cdot(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x-3)$

Anschließend betrachtest du jeden Faktor einzeln:

$f(x)=0$ genau dann wenn

• $-2=0$ (keine Lösung) oder

• $x=0$ (direkt die erste Nullstelle) oder

• $(x+1)=0$ (liefert $x=-1)$ oder

• $(x-3)=0$ (liefert $x=3)$ oder

• $(x-3)=0$ (liefert erneut $x=3)$

Die Funktion hat also die Nullstellen $x=0$, $x=-1$ (jeweils Vielfachheit 1) und $x=3$ (Vielfachheit 2, da sie doppelt in Linearfaktorenform vorkommt)

So ausführlich wirst du deinen Rechenweg für gewöhnlich nicht hinschreiben.

Du nimmst einfach aus jeder Klammer die Zahl mit dem umgedrehten Rechenzeichen und ermittelst die Vielfachheit über den Exponenten außerhalb der Klammer.

Vergiss aber nicht die unscheinbare Nullstelle $x=0$ für ein alleinstehendes x!