8Rechenregeln

Hier sind die wichtigsten Rechenregeln zusammengestellt.

\displaystyle \log_a(a)=1\\\log_a(1)=0\\\log_a(a^b)=b\\a^{\log_a(b)}=b

\displaystyle \log_a(a)=1\\\log_a(1)=0\\\log_a(a^b)=b\\a^{\log_a(b)}=b

$\log_2(16)=\log_2(2\cdot8)=\log_2(2)+\log_2(8)=1+3=4$ , $\\$ denn wegen $2^{1} = 2$ ist $\log_2(2)=1$ und wegen $2^{3} = 8$ ist $\log_2(8)=3$ . $\\$ Weil $2^{4} = 16$ ist, ist auch der linken Seite $\log_2(16)=4$ und die Gleichung stimmt.
$\log_3(6)=\log_5(2\cdot3)=\log_5(2)+\log_5(3)$
$\log_3(\frac{1}{3})=-1$ , da $3^{-1}=\frac{1}{3}$ ist. $\\$ $\log_3(3)=1$ (klar, nicht wahr?) und wegen $3^{2} = 9$ ist $\log_3(9)=2$ . $\\$ Die Gleichung $\frac{1}{3}=\frac{3}{9}$ ist dann mit Logarithmen $\\$ $-1=\log_3(\frac{1}{3})=\log_3(\frac{3}{9})=\log_3(3)-\log_3(9)=1-2=-1$

Es gibt keine allgemeine Regel für $\log_a(b\pm c)$ !

Für alle reellen Zahlen $r$ gilt

\displaystyle \log_a(a)=1\\\log_a(1)=0\\\log_a(a^b)=b\\a^{\log_a(b)}=b

Insbesondere ist für $r = - 1$

\displaystyle \log_a(a)=1\\\log_a(1)=0\\\log_a(a^b)=b\\a^{\log_a(b)}=b

Wegen $4^{3/2}=8$ ist $\log_4(8)=\frac{3}{2}$ .
Daher ist $\log_4(\frac{1}{8})=-\frac{3}{2}$
$\log_4(8)$ kann man jetzt auch berechnen, indem man $8=\sqrt{64}=64^{1/2}$ und $4\cdot4\cdot4=4^3=64$ benutzt: $\\$ aus $\log_4(64)=3$ folgt $\log_4(8)=\log_4(64^{1/2})=\frac{1}{2}\log_4(64)=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}$

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