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11Basisumrechnung

Wenn du den Logarithmus einer Zahl aa zu einer Basis bb hast, kannst du den Logarithmus von aa zu einer anderen Zahl leicht berechnen:

MerkeUmrechnung von Logarithmen

Beispiele

1) Weil 23=82^3=8 ist, ist log2(8)=3\log_2(8)=3.

Wenn du weißt, dass 83=5128^3=512 ist, was ist dann der Logarithmus von 512512 zur Basis 22?

Antwort: Wir wissen, dass log8(512)=3\log_8(512)=3 ist.

Daher ist log2(512)=log2(8)log8(512)=33=9\log_2(512)=\log_2(8)\cdot\log_8(512)=3\cdot3=9

(und das stimmt auch, weil 29=5122^9=512 ist.)

2) Was ist log1/3(81)\log_{1/3}(81)?

Antwort: du weißt, dass 34=813^4=81 ist, also log3(81)=4\log_3(81)=4.

Außerdem ist 13=31,\dfrac{1}{3}=3^{-1}, also auch (13)1=3\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3 und damit log1/3(3)=1\log_{1/3}(3)=-1.

Also ist log1/3(81)=log1/3(3)log3(81)=(1)4=4\log_{1/3}(81)=\log_{1/3}(3)\cdot\log_3(81)=(-1)\cdot4=-4.

Daraus erhält man eine weitere Regel:

Merke


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