11Basisumrechnung

Wenn du den Logarithmus einer Zahl $a$ zu einer Basis $b$ hast, kannst du den Logarithmus von $a$ zu einer anderen Zahl leicht berechnen:

Beispiele

1) Weil $2^3=8$ ist, ist $\log_2(8)=3$.

Wenn du weißt, dass $8^3=512$ ist, was ist dann der Logarithmus von $512$ zur Basis $2$?

Antwort: Wir wissen, dass $\log_8(512)=3$ ist.

Daher ist $\log_2(512)=\log_2(8)\cdot\log_8(512)=3\cdot3=9$

(und das stimmt auch, weil $2^9=512$ ist.)

2) Was ist $\log_{1/3}(81)$?

Antwort: du weißt, dass $3^4=81$ ist, also $\log_3(81)=4$.

Außerdem ist $\dfrac{1}{3}=3^{-1},$ also auch $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}=3$ und damit $\log_{1/3}(3)=-1$.

Also ist $\log_{1/3}(81)=\log_{1/3}(3)\cdot\log_3(81)=(-1)\cdot4=-4$.

Daraus erhält man eine weitere Regel: