Abbildungen im Raum mithilfe von Matrizen (1)

a) Bestimmung der Projektionsmatrix für eine Projektion in die $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Ein typisches Beispiel:

Der Schattenwurf eines gegebenen Punktes $P$ (z.B. Schornstein eines Hauses, siehe Abbildung)

auf eine gegebene Ebene $E$ .

Gleichung der Ebene $E : x_{3} = 0$

Richtung der Sonnenstrahlen: $\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

Ein beliebiger Punkt des Hauses: $P (a ∣ b ∣ c)$

Gesucht wird zum Punkt $P$ des Hauses der Bildpunkt $P^{'}$ des Schattens in der Ebene $E$ .

Erstelle die Gleichung einer Hilfsgeraden $h$ durch $P$ mit der Richtung $\vec v$ .

$h: \vec x=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

Die Hilfsgerade $h$ wird mit der Ebene $E$ geschnitten.

$h\cap E$ :

$z=0\;\Rightarrow\;c+r\cdot v_3=0\;\Rightarrow\;r=-\dfrac{c}{v_3}$

Der Wert für $r$ wird in $h$ eingesetzt und man erhält die Koordinaten von $P^{'}$ .

$\vec x_{P'}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}-\dfrac{c}{v_3}\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-c\cdot\frac{v_1}{v_3}\\b-c\cdot\frac{v_2}{v_3}\\0\end{pmatrix}$ $\;\Rightarrow\;P'(a-c\cdot\frac{v_1}{v_3}|b-c\cdot\frac{v_2}{v_3}|0)$

Die Projektion in die Ebene $E$ kann auch durch eine $3 x 3$ Matrix $A$ beschrieben werden.

Es ist:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{pmatrix}a-c\cdot\frac{v_1}{v_3}\\b-c\cdot\frac{v_2}{v_3}\\0\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{v_1}{v_3}\\0&1&-\frac{v_2}{v_3}\\0&0&0\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;A_{x_1x_2}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{v_1}{v_3}\\0&1&-\frac{v_2}{v_3}\\0&0&0\end{array}\right)$

Die Matrix $A_{x_1x_2}$ ist die Projektionsmatrix.

Alle Punkte des Raumes werden mit der Matrix $A_{x_1x_2}$ in die Ebene $E_{x_1x_2}$ abgebildet.

MerkeProjektion auf eine Ebene E

Es gilt:

Jeder Bildpunkt $P^{'}$ liegt in der Ebene $E$ .
Alle Punkte der Ebene sind sogenannte Fixpunkte, d.h. es sind Punkte, die bei einer Abbildung auf sich selbst abgebildet werden.
Bei einer Projektion in die Ebene $E$ gilt immer: $A\cdot A = A$

b) Bestimmung der Projektionsebene

Gegeben ist eine Projektionsmatrix (Nachweis mit der Beziehung $A\cdot A = A$ ),

z.B. die Matrix $\def\arraystretch{1.25} A = \left(\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{v_1}{v_3}\\0&1&-\frac{v_2}{v_3}\\0&0&0\end{array}\right)$

Gesucht ist die Ebene, die die Fixpunkte enthält, d.h. die Ebene, in die projiziert wird.

Fixpunktgleichung: $A\cdot \vec x=\vec x$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{v_1}{v_3}\\0&1&-\frac{v_2}{v_3}\\0&0&0\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$

Man erhält drei Gleichungen:

$\mathrm{(I)}: x_1-\frac{v_1}{v_3}\cdot x_3=x_1\;\Rightarrow\;-\frac{v_1}{v_3}\cdot x_3=0\;\Rightarrow\;x_3=0$

$\mathrm{(II)}: x_2-\frac{v_2}{v_3}\cdot x_3=x_2\;\Rightarrow\;-\frac{v_2}{v_3}\cdot x_3=0\;\Rightarrow\;x_3=0$

$\mathrm{(III)}: 0=x_3$

Also dreimal die Gleichung $x_{3} = 0$ .

Das ist die gesuchte Ebenengleichung $E$ , in die projiziert wird.

c) Bestimmung der Projektionsrichtung

Man wählt einen beliebigen Punkt im Raum, z.B. den Punkt $Q$ mit den Koordinaten $(q_{1} ∣ q_{2} ∣ q_{3})$ und projiziert ihn mit der Matrix $A$ in die Ebene $E$ , d.h. man erhält den Bildpunkt $Q^{'} .$

$\def\arraystretch{1.25} \left(\begin{array}{ccc}1&0&-\frac{v_1}{v_3}\\0&1&-\frac{v_2}{v_3}\\0&0&0\end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q_1-\frac{v_1}{v_3}\cdot q_3\\q_2-\frac{v_2}{v_3}\cdot q_3\\0\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;\overrightarrow{OQ'}=\begin{pmatrix}q_1-\frac{v_1}{v_3}\cdot q_3\\q_2-\frac{v_2}{v_3}\cdot q_3\\0\end{pmatrix}$

Die Projektionsrichtung ist der Vektor $\overrightarrow{QQ'}=\overrightarrow{OQ'}-\overrightarrow{OQ}=\begin{pmatrix}q_1-\frac{v_1}{v_3}\cdot q_3\\q_2-\frac{v_2}{v_3}\cdot q_3\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}q_1\\q_2\\q_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{v_1}{v_3}\cdot q_3\\-\frac{v_2}{v_3}\cdot q_3\\-q_3\end{pmatrix}=-\dfrac{q_3}{v_3}\cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

Die Projektionsrichtung ist also der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ .

d) Die Projektionsmatrix für eine Projektion in die $x_{2} x_{3}$ -Ebene

$\def\arraystretch{1.25} A_{x_2x_3}=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\-\frac{v_2}{v_1}&1&0\\-\frac{v_3}{v_1}&0&1\end{array}\right)$

e) Die Projektionsmatrix für eine Projektion in die $x_{1} x_{3}$ -Ebene

$\def\arraystretch{1.25} A_{x_1x_3}=\left(\begin{array}{ccc}1&-\frac{v_1}{v_2}&0\\0&0&0\\0&-\frac{v_3}{v_2}&1\end{array}\right)$

Abbildungen im Raum mithilfe von Matrizen (1)

1. Projektion auf eine Ebene:

a) Bestimmung der Projektionsmatrix für eine Projektion in die x1x2x_1x_2x1​x2​-Ebene

b) Bestimmung der Projektionsebene

c) Bestimmung der Projektionsrichtung

d) Die Projektionsmatrix für eine Projektion in die x2x3x_2x_3x2​x3​-Ebene

e) Die Projektionsmatrix für eine Projektion in die x1x3x_1x_3x1​x3​-Ebene

a) Bestimmung der Projektionsmatrix für eine Projektion in die $x_{1} x_{2}$ -Ebene

d) Die Projektionsmatrix für eine Projektion in die $x_{2} x_{3}$ -Ebene

e) Die Projektionsmatrix für eine Projektion in die $x_{1} x_{3}$ -Ebene