Abitur Bayern 2026

A1

$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\ln x}}$

a) $D_{\text{max}}={ℝ}^{+}\backslash \{1\}$ [2BE]

• Der $\ln x$ ist nur für $x\in {ℝ}^{+}$ definiert.

• Der Nenner von $f(x)$ darf nicht gleich null sein$\Rightarrow x\ne 1$.

Beide Bedingungen ergeben zusammen den maximalen Definitionsbereich $D_{\text{max}}={ℝ}^{+}\backslash \{1\}$.

b) $G_f$ hat in genau einem Punkt eine waagerechte Tangente. An welcher Stelle? [3BE]

Bedingung für eine waagerechte Tangente ist $f^{\prime }(x)=0$.

Berechne $f^{\prime }(x)$ mithilfe der Quotientenregel und löse die Gleichung $f^{\prime }(x)=0$.

$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\ln x\cdot 1-x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x}}}{{\left(\ln x\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\ln x-1}{{\left(\ln x\right)}^2}}$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=\ln x-1\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e^1=e$

An der Stelle $x=e$ hat $G_f$ eine waagerechte Tangente.

A2

Gegeben ist $g(x)=\cos x+\cos (2x)$.

a) Welche Koordinaten hat der Punkt $S$? [1BE]

$g(0)=\cos 0+\cos (2\cdot 0)=1+1=2\Rightarrow S(0|2)$

Der Punkt $S$ hat die Koordinaten $(0|2)$.

b) Zeige $${\displaystyle {\int }_0^{\pi }g(x)\mathrm{d}x=0}$$ und deute das Ergebnis geometrisch. [4BE]

Eine Stammfunktion von $g$ ist $G(x)=\sin x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2x)$.

$${\displaystyle {\int }_0^{\pi }g(x)\mathrm{d}x=G(\pi )-G(0)=(\sin \pi +{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2\pi ))-(\sin 0+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin (2\cdot 0))=(0+0)-(0+0)=0}$$

Deute das Ergebnis geometrisch

Der Flächeninhalt $A_1$ oberhalb der x-Achse ist genauso groß wie der Flächeninhalt $A_2$ unterhalb der x-Achse, sodass die Flächenbilanz null ergibt.