A 5

Gegeben sind die einzigen Nullstellen einer Funktion $f(x)$ und zwar $x_1=-\mathrm{1,5}$ und $x_2=0$. Der Graph von $f$ ist gegeben.

Es ist $$J(x)={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}x}$$.

Zeigen Sie, dass $J$ genau zwei Nullstellen in $ℝ$ hat. [5 BE]

Jede Integralfunktion hat an ihrer unteren Grenze eine Nullstelle$\Rightarrow J(0)=0$ und $x=0$ ist die erste Nullstelle.

Integriert man in positiver Richtung, dann wird die Fläche immer größer (vergleiche die Abbildung von $G_f$), d .h. $J(x)>0$ für $x>0$.

Für $x<0$ findet man Flächenbereiche, die unterhalb und oberhalb der x-Achse verlaufen.

Dann gilt: $J(a)=0$ für $a<-\mathrm{1,5}$ (siehe Skizze).

Bekannt ist, dass $f$ nur zwei Nullstellen hat. Demnach gibt es keine weiteren Nullstellen, da $G_f$ die x-Achse nicht noch einmal schneidet.

Somit gibt es genau zwei Nullstellen von $J$ und die Aussage trifft zu.