Der Kreis liegt in der Ebene $L$, weil bei einer Drehung um eine Achse jeder Punkt auf einer Kreisbahn verläuft, die in einer Ebene senkrecht zur Drehachse liegt; der Mittelpunkt $H$ ist dabei der Lotfußpunkt der Spitze $S$ auf dieser Drehachse. Geometrische Begründung Orientierung der Ebene $L$:

Die Gerade $CD$ bildet die Drehachse der Rotation. Bei einer Drehung bewegt sich ein Punkt stets in einer Ebene, die orthogonal (senkrecht) zur Drehachse steht. Da die Ebene $L$ senkrecht auf der Geraden $CD$ steht und durch den Punkt $S$ verläuft, muss die gesamte Kreisbahn der Spitze $S$ in dieser Ebene liegen. Mittelpunkt $H$: Der Mittelpunkt einer solchen Kreisbahn ist immer derjenige Punkt auf der Drehachse, der den kürzesten Abstand zum rotierenden Punkt besitzt. Dies ist exakt der Lotfußpunkt $H$ der Spitze $S$ auf der Geraden $CD$. Der konstante Abstand $|\overrightarrow{HS}|$ bildet dabei den Radius des Kreises.

Die Ebenengleichung von $L$ in Koordinatenform lautet $2x-y=4$ und die Koordinaten des Kreismittelpunkts sind $H(\mathrm{2,8}|\mathrm{1,6}|0)$.

1. Ebenengleichung von $L$ bestimmen

Die Ebene $L$ steht senkrecht auf der Drehachse $CD$. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{CD}$ dient daher direkt als Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene:

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C}=\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

Zur Vereinfachung teilen wir den Vektor durch $-2$ und nutzen den Normalenvektor ${\overrightarrow{n}}_L=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$. Die allgemeine Form der Ebene lautet:$2x-y+0z=d$Da die Ebene durch die Pyramidenspitze $S(2|0|4)$ verläuft, setzen wir die Koordinaten von $S$ ein, um $d$ zu bestimmen:$2\cdot 2-0=4⟹d=4$

Damit lautet die Koordinatengleichung der Ebene:$L:2x-y=4$

2. Parametergleichung der Geraden aufstellen

Der Kreismittelpunkt $H$ ist der Lotfußpunkt von $S$ auf der Geraden $CD$.

Wir stellen die Gerade durch die Punkte $C$ und $D$ auf:$g_{CD}:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{C}+t\cdot \overrightarrow{CD}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)$

3. Lotfußpunkt $H$ berechnen

Um den Schnittpunkt zwischen der Geraden $g_{CD}$ und der Ebene $L$ zu finden, setzen wir die einzelnen Zeilen der Geradengleichung in die Koordinatenform von $L$ ein:

$x=4-4t$$y=1+2t$

Einsetzen in $L:2x-y=4$:$2(4-4t)-(1+2t)=4$$8-8t-1-2t=4$

$7-10t=4$$-10t=-3⟹t=\mathrm{0,3}$

Nun setzen wir $t=\mathrm{0,3}$ zurück in die Geradengleichung ein, um die Koordinaten von $H$ zu erhalten:$\overrightarrow{H}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\mathrm{0,3}\cdot \left(\begin{array}{c}-4\\ 2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4-\mathrm{1,2}\\ 1+\mathrm{0,6}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,8}\\ \mathrm{1,6}\\ 0\end{array}\right)$

Ergebnis

Die Ebene, in der die Kreisbahn liegt, hat die Gleichung $L:2x-y=4$ und der Mittelpunkt dieses Kreises besitzt die Koordinaten $H(\mathrm{2,8}|\mathrm{1,6}|0)$.

Begründung für die Lage des Kreises und den Mittelpunkt $H$

Ein Punkt, der um eine Drehgerade rotiert, beschreibt eine Kreisbahn in einer Ebene, die senkrecht zur Drehachse steht.

Senkrechte Ausrichtung der Ebene $L$ zur Drehachse $CD$:

Der Richtungsvektor der Drehgeraden $CD$ ist:$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\\ 0\end{array}\right)$Die Ebene $L$ besitzt die Gleichung $2x_1-x_2-4=0$. Ihr Normalenvektor lautet somit:${\overrightarrow{n}}_L=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{CD}=2\cdot {\overrightarrow{n}}_L$Da gilt, sind der Richtungsvektor der Drehachse und der Normalenvektor der Ebene kollinear (parallel). Die Ebene $L$ steht also orthogonal auf der Drehgeraden $CD$.

Lage der Spitze $S$ in der Ebene $L$:

Setzt man die Koordinaten der Spitze $S(2|0|4)$ in die Ebenengleichung von $L$ ein, erhält man: 2\cdot 2-4=0 (wahr)

Da der Startpunkt $S$ in $L$ liegt und die Bewegung senkrecht zur Drehachse erfolgt, verläuft die gesamte Kreisbahn in der Ebene $L$.

Mittelpunkt $H$:Der Mittelpunkt eines Rotationskreises ist immer der Schnittpunkt der Drehachse mit der Bewegungsebene. Da $H$ der Schnittpunkt der Kante $CD$ mit der Ebene $L$ ist, ist $H$ der Mittelpunkt des Kreises.

Beurteilung der Aussage zur $y$-KoordinateDie Aussage ist falsch. Während des Drehvorgangs nimmt die Spitze niemals eine $y$-Koordinate von $\mathrm{5,6}$ an.

Rechnerischer Nachweis:

Der Kreis liegt in der Ebene $L$ ($2x-y-4=0⟹x=\mathrm{0,5}y+2$) und hat den Mittelpunkt $H(\mathrm{2,8}|\mathrm{1,6}|0)$ sowie das Radiusquadrat $r^2=\mathrm{19,2}$. Die Kreisgleichung lautet:$(x-\mathrm{2,8}{)}^2+(y-\mathrm{1,6}{)}^2+z^2=\mathrm{19,2}$

Setzt man die Bedingung der Ebene $x=\mathrm{0,5}y+2$ in die Kreisgleichung ein, ergibt sich:

$(\mathrm{0,5}y+2-\mathrm{2,8}{)}^2+(y-\mathrm{1,6}{)}^2+z^2=\mathrm{19,2}$

$(\mathrm{0,5}\cdot (y-\mathrm{1,6}){)}^2+(y-\mathrm{1,6}{)}^2+z^2=\mathrm{19,2}$

$\mathrm{1,25}\cdot (y-\mathrm{1,6}{)}^2+z^2=\mathrm{19,2}$

Um die maximale $y$-Koordinate auf diesem Kreis zu bestimmen, wird $z=0$ gesetzt:$\mathrm{1,25}\cdot (y-\mathrm{1,6}{)}^2=\mathrm{19,2}$

$(y-\mathrm{1,6}{)}^2=\frac{\mathrm{19,2}}{\mathrm{1,25}}=\mathrm{15,36}$

$y-\mathrm{1,6}=\pm \sqrt{\mathrm{15,36}}\approx \pm \mathrm{3,92}$$y_{\text{max}}=\mathrm{1,6}+\mathrm{3,92}=\mathrm{𝟓,𝟓𝟐}$

Da der maximal erreichbare $y$-Wert der Spitze bei ungefähr $\mathrm{5,52}$ liegt, kann die Koordinate $\mathrm{5,6}$ zu keinem Zeitpunkt erreicht werden.