Mathedidaktik beschäftigt sich mit der Frage, wie man Lernenden mathematische Inhalte vermitteln kann.
Im Zentrum der Überlegungen stehen dabei also die Lernenden!
Dieser Artikel soll beim Erstellen von Inhalten auf Serlo helfen.

Leitfragen für Autor*innen

  • Für wen schreibe ich?
  • Wie erkläre und formuliere ich?
  • Welche Schwierigkeiten könnten die Lerner*innen haben?
  • Was ist nötig, um einen Begriff tatsächlich verstehen zu können?

Wer lernt hier?

Serlo stellt Lerninhalte für Schüler*innen aller weiterführenden Schularten und Klassenstufen zur Verfügung. Es hängt also vom spezifischen Lerninhalt ab, welche Altersstufe angesprochen wird; z.B. wird der größte gemeinsame Teiler in der Jahrgangsstufe 5, das uneigentliche Integral jedoch erst in der 12. Klasse des Gymnasiums durchgenommen. Dementsprechend müssen die Artikel unterschiedlich formuliert werden: Je jünger die/der Lernende, desto einfacher und kleinschrittiger muss die Erklärung sein. Bei älteren Nutzer*innen soll hingegen auch Fachsprache korrekt verwendet werden.
Der erste Schritt für Autor*innen ist also, den Lerninhalt mit Lehrplänen abzugleichen. Da Bildung Ländersache ist, gibt es viele verschiedene Lehrpläne. Sie unterscheiden sich meist jedoch nur geringfügig; wichtig für die/den Autor*in ist vor allem:
Lernen den Inhalt, über den ich schreiben möchte, Schüler*innen der Unter-, Mittel- oder Oberstufe?

Wichtige Prinzipien der Mathedidaktik

Altersunabhängig gibt es verschiedene bewährte Prinzipien der Mathedidaktik. Dazu gehören der intermodale Transfer (auch "E-I-S-Prinzip") und das Wissen um den Konzeptwechsel (auch "Conceptual Change").
Im Folgenden werden die Prinzipien (auch anhand von praktischen Beispielen) erklärt. Man kann sich als Autor*in an den Prinzipien orientieren und sie im Inhalt umsetzen.

Grundvorstellungen

Es gibt verschiedene Grundvorstellungen zu jedem Begriff und jeder Rechenoperation. Nur wenn alle Grundvorstellungen beherrscht werden, können Lernende jede Aufgabe gut lösen.Daher sollte man bei Aufgabenstellungen darauf achten, welche Grundvorstellungen Lernende in dieser Aufgabe leisten müssen und evtl. in der Lösung gezielt darauf eingehen.
Grundvorstellung der Addition:
  • Hinzufügen -> In einer Kiste liegen 4 Klötzchen. Später werden noch 2 Klötzchen dazugelegt. Wie viele Klötzchen sind dann in der Kiste?
  • Zusammenfügen -> Es liegen 7 Tennisbälle und 2 Golfbälle zusammen in einer Kiste. Wie viele Bälle liegen in der Kiste?
Grundvorstellungen der Subtraktion:
  • Wegnehmen -> In einer Kiste liegen 4 Klötzchen. Später werden 2 Klötzchen herausgenommen. Wie viele Klötzchen sind dann in der Kiste?
  • Ergänzen -> In eine Kiste passen 9 Klötzchen. Es liegen bereits 3 Klötzchen in der Kiste. Wie viele können noch dazugelegt werden?
  • Vergleichen -> In einer lila Kiste liegen 15 Klötzchen, in einer orangen Kiste liegen 7 Klötzchen. Wie viele Bälle mehr liegen in der lila Kiste als in der orangen?
Grundvorstellungen der Multiplikation:
  • Fortgesetztes Hinzufügen -> Ein Kind legt 5 Äpfel in eine Schale, ein weiteres Kind legt nochmal 5 dazu, das nächste Kind legt wieder 5 hinein usw.
  • Rechteckfeld -> In einem Spielkarton sind 3 Reihen mit jeweils 8 Dominosteinen.
  • Skalieren -> 1----5----10----15----20----25----30--- … 5er Sprünge auf dem Zahlenstrahl
  • Multiplikativer Vergleich -> Ein Elefant ist 3 mal so groß wie ein Nilpferd.
  • Multiplikative Kombination von Größen -> Ein Mädchen hat 3 Röcke und 5 Blusen. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat sie?
Grundvorstellungen der Division:
  • Verteilen -> 15 Kinder spielen mit 30 Klötzchen. Wie viele Klötzchen hat jedes Kind mitgebracht, wenn allen Kindern gleich viele Klötzchen gehören?
  • „Passen in“ -> Ein 10 Meter langer Flur wird mit Teppichen ausgelegt. Jeder Teppich ist 2 Meter lang. Wie viele Teppiche braucht man um den Flur zu bedecken?
  • Umkehrung zur Multiplikation -> Ein Mann möchte für 20 € Bücher kaufen. Jedes buch kostet 5 €. Wie viele Bücher kann er sich leisten?
Grundvorstellungen für Variablen:
  • Gegenstandsaspekt: Variable als unbekannte Zahl bzw. als unbestimmte allgemeine Zahl
  • Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter/Leerstelle in die man Zahlen einsetzten darf
  • Kalkülaspekt: Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem man nach bestimmten Regeln rechnen darf
  • Veränderlichenaspekt: Variable in einer gegebenen Formel (z.B. Umfangformel) für die man unterschiedliche Zahlen einsetzten darf (Seitenlängen)
Grundvorstellungen zu den Funktionen:
  • Zuordnungsvorstellung: Beschreibung oder Stiftung von Zusammenhängen durch eine Funktion, Beschreibung von zwei abhängigen Größen/ Variablen
  • Kovariationsvorstellung: Erfassung der Dynamik, wie zwei Größen/ Variablen sich miteinander verändern
  • Vorstellung von der Funktion als Ganzes: Betrachtung eines gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes; Funktion als eigenständiges Objekt, z.B. charakteristischer Graph
Voraussetzung dafür: Verinnerlichung des Veränderlichenaspektes von Variablen
Literaturquellen:
Prediger, Susanne (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkül - Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Weinheim: Beltz, 213-234.vom Hofe, Rudolf (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. In: Mathematik lehren 118, 4-8.
Hefendehl-Hebeker, Lisa & Prediger, Susanne (2006): Unzählig viele Zahlen – Zahlbereiche erwei-tern und Zahl¬vor¬stellungen wandeln. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11), 1-7.
Prediger, Susanne; Freesemann, Okka; Moser Opitz, Elisabeth & Hußmann, Stephan (2013): Un-verzichtbare Verstehensgrundlagen statt kurzfristige Reparatur - Förderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten in Klasse 5. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 55(51), 12-17.
Leuders, Timo / Prediger, Susanne (2005): Funktioniert’s? - Denken in Funktionen, Praxis der Ma-thematik in der Schule 47(2), S. 1-7
Malle, Günther (1986): Variable. Basisartikel mit Überlegungen zur elementaren Algebra, in: Ma-thematik lehren 15, S. 2-11.

E-I-S-Prinzip

EIS-Prinzip unterstützt die Entwicklung des Wissens durch schrittweise Darstellung neuer Inhalte -erst in Enaktiven, dann Ikonischen und schließlich in Symbolischen Repräsentationen
Definition:
Um eine umfassende Vorstellung vom erlernten Stoff zu bekommen, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten eine Aufgabe darzustellen:
  1. Reale Sachsituation
  2. Graphische Darstellung
  3. Symbolische Darstellung
Erläuterungen:
Ob die Grundvorstellungen zu den einzelnen Begriffen und Operationen gut aufgebaut sind, kann man daran erkennen, ob die Übersetzungsporzesse zwischen den Darstellungen funktionieren.
WICHTIG: Lernende müssen den Darstellungswechsel selbst vollziehen können!
Beispiel:
Aufgabe: Brüche berechnen, z.B. 6/6 – 1/2 = ???
Reale Sachsituation: Vorstellung eines Kuchens, welcher in 6 Stücke aufgeteilt wird. Es werden 1/2 davon gegessen. Wie viel bleibt übrig?
Graphische Darstellung: Zeichnen eines Kreises, der aufgeteilt wird
Symbolische Darstellung: Rechnung
Literaturquelle:
Bruner, J. S. , Oliver, R. S. & Greenfield, P. M. (1971). Studien zur kognitiven Entwicklung. Stuttgart: Kohlhammer. --> Quelle: http://lexikon.stangl.eu/12401/eis-prinzip/© Online Lexikon für Psychologie und Pädagogik
Prediger, Susanne (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkül - Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Weinheim: Beltz, 213-234.vom Hofe, Rudolf (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. In: Mathematik lehren 118, 4-8.

Conceptual Change

Einen Begriff verstehen

Literaturempfehlungen

Didaktik der Arithmetik und Zahlbereiche
• Hefendehl-Hebeker, Lisa & Prediger, Susanne (2006): Unzählig viele Zahlen – Zahlbereiche erwei-tern und Zahl¬vor¬stellungen wandeln. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11), 1-7.
• Prediger, Susanne; Freesemann, Okka; Moser Opitz, Elisabeth & Hußmann, Stephan (2013): Un-verzichtbare Verstehensgrundlagen statt kurzfristige Reparatur - Förderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten in Klasse 5. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 55(51), 12-17.
Didaktik der Algebra und Funktionen
• Leuders, Timo / Prediger, Susanne (2005): Funktioniert’s? - Denken in Funktionen, Praxis der Ma-thematik in der Schule 47(2), S. 1-7
• Malle, Günther (1986): Variable. Basisartikel mit Überlegungen zur elementaren Algebra, in: Ma-thematik lehren 15, S. 2-11.
Didaktik der Stochastik
• Eichler, Andreas & Vogel, Markus (2009): Zufall und Wahrscheinlichkeit. In: Dieselben: Leitidee Daten und Zufall. Vieweg + Teubner: Wiesbaden, 147-176.
• Vogel, Markus & Eichler, Andreas (2011): Das kann doch kein Zufall sein. Praxis der Mathematik in der Schule, 53(39), 2-8.
Didaktik der Geometrie
• Wittmann, Erich Ch. (1999): Konstruktion eines Geometriecurriculums ausgehend von Grundideen der Elementargeometrie, in: Henning, Herbert (Hrsg.): Mathematik lernen durch Handeln und Erfah-rung. Bueltmann und Gerriets, Oldenburg, 205-223.
• Greefrath, Gilbert & Laakmann, Heinz (2014): Mathematik eben - Flächen messen. Praxis der Ma-thematik in der Schule 56(55), 2-10. (Schwerpunkt auf Sek I)
Differenzierung
Hußmann, Stephan & Prediger, Susanne (2007): Mit Unterschieden rechnen. Differenzieren und Individualisieren. In: Praxis der Mathematik in der Schule 49(17), 1-8
Produktives Üben
Leuders, Timo (2009): Intelligentes üben und Mathematik erleben. In: T. Leuders, L. Hefendehl-Hebeker & H.-G. Weigand (Hrsg.): Mathemagische Momente. Cornelsen, Berlin, 130-143.
Wittmann, E. C. (1989). Wider die Flut der bunten Hunde und der grauen Päckchen: Die Konzeption des aktiv-entdeckenden Lernens und produktiven Übens. Sachunterricht und Mathematik in der Primarstufe, 17(10), 445-446, 455- 460.
Leuders, Timo (2009): Intelligentes üben und Mathematik erleben. In: T. Leuders, L. Hefendehl-Hebeker & H.-G. Weigand (Hrsg.): Mathemagische Momente. Cornelsen, Berlin, 130-143.Lerntheoretische Hintergründe
Malle, Günther (1993): Lernen als Abbilden und Lernen als Konstruieren, in: ders.: Didaktische Probleme der elementaren Algebra: mit vielen Beispielaufgaben, Vieweg, Wiesbaden.Prinzip des entdeckendes Lernens
Malle, Günther (2002): Begründen. Eine vernachlässigte Tätigkeit im Mathematikunterricht. In: Mathematik lehren 110, 4-8.
Grundvorstellungen
Prediger, Susanne (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkül - Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Weinheim: Beltz, 213-234.
vom Hofe, Rudolf (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. In: Mathematik lehren 118, 4-8.Konstrukte Unterrichtsphasen
Prediger, Susanne & Wittmann, Gerald (2013): Verständiger Umgang mit Begriffen und Verfahren. Zentrale Grundlagen der Kompetenzaspekte Wissen-Erkennen-Beschreiben und Operieren-Berechnen. In: Linneweber-Lammerskitten, Helmut (Hrsg.): Lehren lernen - Basiswissen für die Lehrerinnen- und Lehrerbildung. Seelze: Kallmeyer.
Hinweis:Die genannten Literaturempfehlungen stammen aus dem Seminar: "Abschlusskurs Mathematikdidaktik" an der TU Dortmund von Prof.Dr. Prediger.
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