Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Als "Teiler" einer ganzen Zahl x bezeichnet man eine natürliche Zahl, durch die sich x ohne Rest teilen lässt.

Der größte gemeinsame Teiler (=ggT= \mathrm{ggT}) zweier oder mehrerer Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die sich alle diese Zahlen teilen lassen.

Es ist zum Beispiel beim Rechnen mit Brüchen hilfreich, den ggT\mathrm{ggT} von Zähler und Nenner zu bestimmen, um mit ihm zu kürzen .

Wie kommt man auf den ggT\mathrm{ggT}?

Im Folgenden werden dir 3 verschiedene Methoden zur Berechnung des ggTs vorgestellt:

Teiler auflisten

Diese Methode funktioniert bei kleinen Zahlen, bei denen man leicht überprüfen kann, welche Teiler sie haben.

Beispiel

Gesucht ist der ggT\mathrm{ggT} von 16 und 20.

 

 

Teiler von 16:

1

2

4

8

16

Teiler von 20:

1

2

4

5

10

20

Die größte Zahl, die sowohl Teiler von 16 als auch von 20 ist, ist 4 \Rightarrow ggT(16;20)=4\mathrm{ggT}(16;20)=4

Video zur Bestimmung des ggt (Teiler auflisten)

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Über die Primfaktorzerlegung

Hat man die Primfaktorzerlegung zweier (oder mehrerer) Zahlen, kann man daraus leicht den größten gemeinsamen Teiler ausrechnen.

Der ggT\mathrm{ggT} zweier (oder mehrerer) Zahlen ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die beide Zahlen gemeinsam haben.

Beispiel 1

Gesucht ist ggT(12,18)\mathrm{ggT}(12{,}18) :

Beide Zahlen haben die 22 und die 33 jeweils einfach als Primfaktoren gemeinsam.

Also ist ggT(12;18)=23=6\mathrm{ggT}(12;18)=2\cdot3=6

Beispiel 2

Gesucht ist ggT(120,900)\mathrm{ggT}(120{,}900) :

Beide Zahlen haben die 22,33 und 55 als Primfaktoren gemeinsam. Den Primfaktor 22 haben beide sogar zweimal gemeinsam.

Also ist ggT(120,900)=2235=2235=60\mathrm{ggT}(120{,}900)=2\cdot2\cdot3\cdot5=2^2\cdot3\cdot5=60

Beispiel 3

Gesucht ist ggT(105,26)\mathrm{ggT}(105{,}26) :

Die beiden Zahlen haben also keinen gemeinsamen Primfaktor. Deshalb ist ggT(105;26)=1\mathrm{ggT}(105;26)=1

Video zur Bestimmung des ggT (Primfaktorzerlegung)

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Über den euklidischen Algorithmus

Mit dem euklidischen Algorithmus kann man den größten gemeinsamen Teiler relativ einfach ausrechnen. Mitunter ist es ein wenig langwierig, aber hat man ihn einmal verstanden, führt er einen auch für große Zahlen sicher zum Ziel.


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