Abbildung 1 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit Definitionsmenge . schneidet die x-Achse bei , und und verläuft durch den Punkt .
a)
(4 BE)
Ermitteln Sie einen Funktionsterm von .
(zur Kontrolle:
b)
(6 BE)
Zeigen Sie, dass im Punkt einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt .
c)
(4 BE)
geht aus dem Graphen der in definierten Funktion durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion , dass der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
Im Folgenden wird die in definierte Funktion mit betrachtet.
d)
(3 BE)
hat für zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.
e)
(2 BE)
Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.
f)
(2 BE)
Begründen Sie, dass höchstens vier Nullstellen hat.
g)
(6 BE)
Für gilt, dass der Graph von und der Graph einer trigonometrischen Funktion
die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,
beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,
jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts einschließen.
Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion .