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Abitur A B 2 1

Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f einer ganzrationalen Funktion ff dritten Grades mit Definitionsmenge R\mathbb{R}. GfG_f schneidet die x-Achse bei x=0x=0, x=5x=5 und x=10x=10 und verläuft durch den Punkt (12)(1|2).

a)

(4 BE)

Ermitteln Sie einen Funktionsterm von ff.

(zur Kontrolle:

f(x)=118(x315x2+50x)f(x)=\frac{1}{18}\cdot(x^3-15x^2+50x)

b)

(6 BE)

Zeigen Sie, dass GfG_f im Punkt W(50)W(5|0) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an GfG_f im Punkt WW.

c)

(4 BE)

GfG_f geht aus dem Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion g:x118(x325x)g:x\,\mapsto\,\frac{1}{18}(x^3-25x) durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von gg dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion gg, dass der Graph von ff symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

Im Folgenden wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion F1F_1 mit F1(x)=1xf(t)dt\displaystyle F_1(x)=\int_1^ x f(t)dt betrachtet.

d)

(3 BE)

F1F_1 hat für 0x100\leq x \leq 10 zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

(2 BE)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass F1F_1 mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.

f)

(2 BE)

Begründen Sie, dass F1F_1 höchstens vier Nullstellen hat.

g)

(6 BE)

Für 0x50\leq x \leq 5 gilt, dass der Graph von ff und der Graph einer trigonometrischen Funktion hh

  • die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,

  • beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,

  • jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts 62572\frac{625}{72} einschließen.

Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion hh.