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Abbildung 1 zeigt den Graphen Gf einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit Definitionsmenge . Gf schneidet die x-Achse bei x=0, x=5 und x=10 und verläuft durch den Punkt (1|2).

Abitur A B 2 1

a)

(4 BE)

Ermitteln Sie einen Funktionsterm von f.

(zur Kontrolle:

f(x)=118(x315x2+50x)

b)

(6 BE)

Zeigen Sie, dass Gf im Punkt W(5|0) einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an Gf im Punkt W.

c)

(4 BE)

Gf geht aus dem Graphen der in definierten Funktion g:x118(x325x) durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von g dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion g, dass der Graph von f symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

Im Folgenden wird die in definierte Funktion F1 mit F1(x)=1xf(t)dt betrachtet.

d)

(3 BE)

F1 hat für 0x10 zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.

e)

(2 BE)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass F1 mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.

f)

(2 BE)

Begründen Sie, dass F1 höchstens vier Nullstellen hat.

g)

(6 BE)

Für 0x5 gilt, dass der Graph von f und der Graph einer trigonometrischen Funktion h

  • die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,

  • beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,

  • jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts 62572 einschließen.

Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion h.