Abbildung 1 zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit Definitionsmenge . schneidet die x-Achse bei , und und verläuft durch den Punkt .
a)
(4 BE)
Ermitteln Sie einen Funktionsterm von .
(zur Kontrolle:
b)
(6 BE)
Zeigen Sie, dass im Punkt einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an im Punkt .
c)
(4 BE)
geht aus dem Graphen der in definierten Funktion durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion , dass der Graph von symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.
Im Folgenden wird die in definierte Funktion mit betrachtet.
d)
(3 BE)
hat für zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.
e)
(2 BE)
Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.
f)
(2 BE)
Begründen Sie, dass höchstens vier Nullstellen hat.
g)
(6 BE)
Für gilt, dass der Graph von und der Graph einer trigonometrischen Funktion
die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,
beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,
jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts einschließen.
Wenn du mit der Bedeutung von Nullstellen einer Funktion für die Linearfaktordarstellung des Funktionsterms vertraut bist, kannst du den folgenden Spoiler übergehen.
Verwende die gegebenen Nullstellen , und zur Linearfaktordarstellung des gesuchten Funktionsterms.
Den gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und nach auflösen:
ist der gesuchte Funktionsterm der ganzrationalen Funktion 3. Grades.
Lösung Teilaufgabe b)
Wendepunkt berechnen
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt einer differenzierbaren Funktion ist, dass die 2. Ableitung an der gesuchten Stelle Null ist.
Der Punkt W(5|0} ist tatsächlich Wendepunkt, wenn auch die hinreichende Bedingung erfüllt ist, dass gilt: .
Die 3. Ableitung von ist eine von Null veschiedene konstante Funktion:
.
Also: W(5|0) ist Wendepunkt des Graphen von f.
Tangente bestimmen
Zur Ermittlung der Gleichung der Tangente in einem beliebigen Punkt des Graphen von kannst du folgende Formel benutzen:
Setze die Koordinaten von und den Steigungswert in die Formel ein:
Die Gleichung der gesuchten Tangente im Wendepunkt an den Graphen von lautet:
Lösung Teilaufgabe c)
Verschiebung ermitteln
Überlegung:
Wenn der Graph von durch eine Verschiebung längs der postiven -Richtung aus dem Graphen von hervorgeht, müssen z.B. die Nullstellen von zu den Nullstellen von werden.
Berechnung der Nullstellen von :
Die drei Nullstellen von nämlich erhält man aus den drei Nullstellen von durch eine Verschiebung um 5 LE in positive -Richtung. Diese Verschiebung verschiebt dann auch den gesamten Graphen von in den von .
Punktsymmetrie zum Wendepunkt
Der Graph von ist punktsymmetrisch zu seiner Nullstelle , da gilt:
Bei der Verschiebung von auf wird der Punkt auf den Wendepunkt von verschoben. Also ist der Graph von punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt .
Alternative Begründung
Jede ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zu ihrem stets existierenden einzigen Wendepunkt.
Begründung:
Die 2. Ableitung einer jeden ganzrationalen Funktion 3. Grades ist eine nicht konstante lineare Funktion und hat deshalb genau eine Nullstelle, ihren "Wendepunkt".
Die 1. Ableitung ist als ganzrationale Funktion 2. Grades symmetrisch zu ihrer Symmetrieachse.Daraus folgt das punktsymmetrische Verhalten der Steigungswerte, also die Punktsymmetrie der Funktion 3. Grades.
Lösung Teilaufgabe d)
Eine Nullstelle von ist , da dann untere und obere Intervallgrenze gleich sind.
Eine weitere Nullstelle ist .
Aufgrund der Punktsymmetrie von zu ist dann die von gemessene Flächenbilanz ausgeglichen, d.h. Null.
Lösung Teilaufgabe e)
Das Integral hat einen negativen Wert.
Die Integralfunktion der stetigen Funktion ist für - beginnend mit genannten negativen Wert - stetig und unbegrenzt zunehmend.
Stammfunktionen von ganzrationalen Funktionen 3. Grades sind ganzrationale Funktionen 4. Grades.
Als solche kann höchstens 4 Nullstellen haben, da ganzrationale Funktionen n-ten Grades höchstens n Nullstellen haben können.
Damit ist der Nachweis der Teilaufgabe geführt.
Alternative Lösung
Du hast bereits in Teilaufgabe e) die dritte Nullstelle begründet. Nachdem aber der Graph nach der dritten Nullstelle bei ca. nur noch weiter ansteigt, wird auch die Flächenbilanz nur noch positiver, es gibt also keine weitere Nullstelle mehr in dieser Richtung.
Wenn man nun von in negative -Richtung geht, ist der Graph erst positiv, das schlägt sich allerdings wegen der negativen Richtung negativ in der Flächenbilanz nieder. Anschließend ist der Graph allerdings negativ, was durch die negative Richtung einen positiven Beitrag zur Flächenbilanz hat. An einem Punkt gleichen sich der negative und der positive Beitrag aus und hat eine Nullstelle. Danach gibt es aber nur noch positive Beiträge zur Flächenbilanz, weil der Graph in negative -Richtung immer negativer wird. Das heißt steigt links von seiner letzten Nullstelle immer weiter an und es gibt auch in dieser Richtung keine weiteren Nullstellen mehr.
Also hat vier und damit auch maximal vier Nullstellen.
Lösung Teilaufgabe g)
Als trigonometrische Funktion, diefür und eine Nullstelle hat und im Intervall oberhalb der Achse verläuft, bietet sich eine
längs der positiven -Achse
und längs der positiven y-Achse
gestreckte Sinusfunktion mit folgendem Funktionsterm an:
Wenn für die Funktion die erste Nullstelle sein soll, dann gilt für den Streckungsfaktor :
.
Somit gilt zunächst:
Streckung längs der -Achse
Eine Streckung von längs der -Achse lässt die beiden Nullstellen und von unverändert, vergrößert aber den Flächeninhalt, den der Graph von mit der -Achse einschließt.
Für ist gefordert: .
Jetzt setzt du den Funktionsterm ein, berechnest das bestimmte Integral - mit der Substitutionsregel - und löst die Gleichung nach auf.
Die gesuchte Funktion hat also folgenden Term:
Graphische Darstellung
Die Zeichnung verdeutlicht, dass der Graph von im Intervall den Graphen von flächenmäßig ersetzt, ihn aber - natürlich - nicht kongruent überdeckt.