Aufgaben zu Booleschen Ausdrücken

Zeige mit Tabellen, dass die Aussage stimmt.

$\overline{a \vee b} = \overline{a} \wedge \overline{b}$

Boolesche Ausdrücke vergleichen
Ist $\overline{a \vee b}$ und $\overline{a} \wedge \overline{b}$ der selbe Ausdruck?
Als erstes erstellst du eine Tabelle für $\overline{a \vee b}$ und danach für $\overline{a} \wedge \overline{b}$ . Die Tabelleneinträge kannst du dann vergleichen.
Schritt 1: Tabelle für $\overline{a \vee b}$
Hierfür schreibst du in eine Tabelle die Möglichkeiten für a und b
a
b
0
0
0
1
1
0
1
1
Als nächstes fügst du eine Spalte für $a \vee b$ hinzu. Dies ist die OR-Funktion. In der neuen Spalte steht also eine 1, wenn $a$ oder $b$ 1 ist.
a
b
$a \vee b$
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Jetzt verknüpfst du den gesamten Ausdruck mit NOT. Eine 1 in der Spalte $a \vee b$ wird also in der neuen Spalte $\overline{a \vee b}$ zu einer 0. Genauso wird eine 0 zu einer 1
a
b
$a \vee b$
$\overline{a \vee b}$
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
Die Tabelle für den ersten Ausdruck ist jetzt fertig. Füge nun die Spalten für den Ausdruck $\overline a \wedge \overline b$ hinzu.
Schritt 2: Tabelle für $\overline a \wedge \overline b$
Füge als erstes Spalten für $\overline a$ und $\overline b$ mit der NOT-Verknüpfung hinzu
a
b
$a \vee b$
$\overline{a \vee b}$
$\overline{a}$
$\overline b$
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
Verknüpfe diese Spalten zum Schluss mit AND, um den gewünschten zweiten Ausdruck zu erhalten
a
b
$a \vee b$
$\overline{a \vee b}$
$\overline{a}$
$\overline b$
$\overline{a} \wedge \overline{b}$
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
Da die Spalte $\overline{a \vee b}$ genau gleich ist, wie die Spalte $\overline{a} \wedge \overline{b}$ , stimmt die Aussage.
Diese Formel nennt man das Gesetz von De'Morgan.
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$\overline{a \wedge b} = \overline{a} \vee \overline{b}$
Kommutativität:
- $a\vee b = b\vee a$
- $a \wedge b = b \wedge a$
Distributivgesetz:
$\displaystyle a \vee (b \wedge c) = (a \vee b) \wedge (a \vee c)$
Gilt das auch, wenn man die Operatoren vertauscht?
Assoziativität:
$\displaystyle (u \vee v) \vee w = u \vee (v \vee w)$
Dasselbe für AND.
$\displaystyle d \vee (d \wedge f) = d$
$\displaystyle d \wedge (d \vee f) = d$
$\displaystyle x \vee (y \wedge{\overline{y}}) = x$
$\displaystyle x \wedge (y \vee{\overline{y}}) = x$
$\displaystyle s \vee \overline{s} = 1$
$\displaystyle s \wedge \overline{s} = 0$
$\displaystyle \overline{\overline{\overline{a}}} = \overline{a}$
$\displaystyle \overline{\overline{x}} = (x \wedge x) = (x \vee x) = x$

a	b	$a \vee b$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

a	b	$a \vee b$	$\overline{a \vee b}$
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	1	0

a	b	$a \vee b$	$\overline{a \vee b}$	$\overline{a}$	$\overline b$
0	0	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	0	1
1	1	1	0	0	0

a	b	$a \vee b$	$\overline{a \vee b}$	$\overline{a}$	$\overline b$	$\overline{a} \wedge \overline{b}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Boolesche Ausdrücke vergleichen

Schritt 1: Tabelle für a∨b‾\overline{a \vee b}a∨b

Schritt 2: Tabelle für a‾∧b‾\overline a \wedge \overline ba∧b

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Schritt 1: Tabelle für $\overline{a \vee b}$

Schritt 2: Tabelle für $\overline a \wedge \overline b$