Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge von der folgenden Bruchgleichung:
(In das Eingabefeld musst du nur den Wert der Lösungsmenge eingeben)
2−x5=2x−4x
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Defintionsmenge bestimmen
Als erstes musst du die Definitionsmenge bestimmen. Hierfür dürfen die Nenner der Bruchterme nicht 0 werden.
2−x5=2x−4x
2−x=0⇔x=2
2x−4=0⇔x=2
Damit ist die Definitionsmenge: D=Q\{2}
Bruchgleichung lösen
Hier bietet sich das Verfahren "Über Kreuz multiplizieren" an.
| 2−x5 | = | 2x−4x | ⋅(2−x)∣⋅(2x−4) |
| 5⋅(2x−4) | = | x⋅(2−x) | |
↓ | Ausmultiplizieren | ||
| 10x−20 | = | 2x−x2 | |
↓ | Alles auf eine Seite bringen und somit 0 setzen. | ||
| x2+8x−20 | = | 0 | |
↓ | Mit der Mitternachtsformel lösen | ||
| x1,2 | = | 2−8±12 | |
↓ | Beide Werte für x ausrechnen | ||
| x1 | = | 2 | |
| x2 | = | −10 | |
Da 2 nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, ist sie auch nicht Bestandteil der Lösungsmenge: L={−10}.
Alternative Lösung
Suche den Hauptnenner und multipliziere beide Seiten der Gleichung damit.
2−x5=2x−4x
2−x5=−2(2−x)x
2−x5=−2(2−x)x
Der Hauptnenner ist damit −2⋅(2−x). Mit diesem werden beide Seiten multipliziert und die Brüche gekürzt.
| 5⋅(−2) | = | x | |
↓ | Ausrechnen | ||
| x | = | −10 | |
Da −10 in der Definitionsmenge enthalten ist, lautet die Lösungsmenge:
L={−10}
