Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$ so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\vec a \circ \vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2x \\ 6 \end{pmatrix} = 3\cdot 2x+9\cdot6$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

$3\cdot 2x+9\cdot6 \overset{!}{=}0$

Somit musst du $x=-9$ setzen, damit die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Vektor $\vec{b}$ ist also:

$\vec b = \begin{pmatrix} 2 x \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot (-9) \\ 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -18 \\ 6 \end{pmatrix}$

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} -x \\ 5 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = (-x)\cdot 3+5\cdot6$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

$(-x)\cdot 3+5\cdot6 \overset{!}{=}0$

Somit musst du $x=10$ setzen, damit das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt und sie somit senkrecht aufeinander stehen. $\vec a = \begin{pmatrix} -10 \\ 5 \end{pmatrix}$

Tipp: Können die Vektoren überhaupt senkrecht zueinander stehen?

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$ so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} -3x \\ 4 \end{pmatrix} = 0\cdot (-3x)+12\cdot4= 48$

Du siehst also, dass das Skalarprodukt $48$ beträgt und unabhänigig von $x$ ist. Das Skalarprodukt kann also nicht $0$ werden! Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen also für keine Wahl von $x$ senkrecht aufeinander!

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 2x-4 \\ x \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} 2 \\ x-6 \end{pmatrix} = (2x-4)\cdot 2 +x\cdot (x-6)$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

Das Skalarprodukt ist daher $0$, wenn du $x_1=4$ oder $x_2=-2$ setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

$a_1=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ und $b_1=\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

oder

$a_2=\begin{pmatrix} -8 \\ -2 \end{pmatrix}$ und $b_2=\begin{pmatrix} 2 \\ -8 \end{pmatrix}$

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\vec a \odot \vec b = \begin{pmatrix} 3 \\ 2x \end{pmatrix} \odot \begin{pmatrix} x^2 -5\\ 1-x \end{pmatrix} = 3\cdot (x^2-5) +2x\cdot (1-x)$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

Das Skalarprodukt ist daher $0$, wenn du $x_1=3$ oder $x_2=-5$ setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

$a_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$ und $b_1=\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}$

oder

$a_2=\begin{pmatrix} 3 \\ -10 \end{pmatrix}$ und $b_2=\begin{pmatrix} 20 \\ 6 \end{pmatrix}$