Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$ so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}2x\\ 6\end{array}\right)=3\cdot 2x+9\cdot 6$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

$3\cdot 2x+9\cdot 6\stackrel{!}{=}0$

Somit musst du $x=-9$ setzen, damit die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Der Vektor $\overrightarrow{b}$ ist also:

$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2x\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot (-9)\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-18\\ 6\end{array}\right)$

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-x\\ 5\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)=(-x)\cdot 3+5\cdot 6$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

$(-x)\cdot 3+5\cdot 6\stackrel{!}{=}0$

Somit musst du $x=10$ setzen, damit das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ergibt und sie somit senkrecht aufeinander stehen. $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-10\\ 5\end{array}\right)$

Tipp: Können die Vektoren überhaupt senkrecht zueinander stehen?

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$ so, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 12\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}-3x\\ 4\end{array}\right)=0\cdot (-3x)+12\cdot 4=48$

Du siehst also, dass das Skalarprodukt $48$ beträgt und unabhänigig von $x$ ist. Das Skalarprodukt kann also nicht $0$ werden! Die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ stehen also für keine Wahl von $x$ senkrecht aufeinander!

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2x-4\\ x\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}2\\ x-6\end{array}\right)=(2x-4)\cdot 2+x\cdot (x-6)$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

Das Skalarprodukt ist daher $0$, wenn du $x_1=4$ oder $x_2=-2$ setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

$a_1=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)$ und $b_1=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)$

oder

$a_2=\left(\begin{array}{c}-8\\ -2\end{array}\right)$ und $b_2=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\end{array}\right)$

Orthogonale Vektoren

Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Wähle $x$, sodass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ wird.

Du berechnest das Skalarprodukt wie folgt:

$\overrightarrow{a}\odot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2x\end{array}\right)\odot \left(\begin{array}{c}{x}^2-5\\ 1-x\end{array}\right)=3\cdot (x^2-5)+2x\cdot (1-x)$

Wenn zwei Vektoren aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt $0$. Setze deshalb das Skalarprodukt gleich $0$ und löse nach $x$ auf!

Das Skalarprodukt ist daher $0$, wenn du $x_1=3$ oder $x_2=-5$ setzt. Also stehen für diese Werte die Vektoren senkrecht aufeinander. Als Vektoren erhältst du dann:

$a_1=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$ und $b_1=\left(\begin{array}{c}4\\ -2\end{array}\right)$

oder

$a_2=\left(\begin{array}{c}3\\ -10\end{array}\right)$ und $b_2=\left(\begin{array}{c}20\\ 6\end{array}\right)$