Nachtermin Teil A - lernen mit Serlo!

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A 3.0 Das radioaktive Isotop Cäsium-137 zerfällt mit einer Halbwertszeit von $30$ Jahren, d.h. nach dieser Zeit ist von einer bestimmten Anfangsmasse dieses Isotops nur noch die Hälfte an Cäsium-137 vorhanden. Der Zusammenhang zwischen der Anzahl $x$ der Jahre seit Beginn des Zerfalls und der Masse $y \, \text{mg}$ lässt sich näherungsweise durch eine Funktion der Form $y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$ $\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0; \; y_0 \in \mathbb{R}^+\right)$ darstellen, wobei $y_0 \, \text{mg}$ die Masse zu Beginn eines Versuches darstellt. Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

A 3.1 Bei einem Langzeitversuch sind nach sechs Jahren noch $39 \, \text{mg}$ des Isotops Cäsium-137 nachweisbar. Bestimmen Sie rechnerisch die Masse, die zu Beginn des Versuches vorhanden war.

(2 Punkte)

A 3.2 In einem anderen Versuch lässt sich der Zerfallsprozess durch die Funktion mit der Gleichung $y=13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$ $\left( \mathbb{G} = \mathbb{R}^+_0 \times \mathbb{R}^+_0 \right)$ darstellen. Berechnen Sie, im wievielten Jahr erstmals weniger als $8 \, \text{mg}$ des Isotops nachweisbar sind.

(2 Punkte)

A 3.3 Wie viel Prozent der ursprünglichen Masse des Isotops Cäsium-137 sind nach zehn Jahren noch vorhanden?

Kreuzen Sie die zutreffende Lösung an.

(1 Punkt)

a) $20{,}63 \%$

b) $79{,}37 \%$

c) $66{,}67\%$

d) $83{,}33\%$

e) $33{,}33\%$

Lösung zur Teilaufgabe A 3.1

Anfangsmasse

Überlege dir anhand der Formel $y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$ welche Werte du gegeben hast und was du berechnen möchtest.

Gegeben: $y =\text{Masse nach bestimmmter Zeit} = 39 \, \text{mg}$ $x = \text{vergangene Zeit} = 6 \,\text{Jahre}$

Gesucht: $y_0 = \text{Anfangsmasse}$

Stelle die Formel mit den gegebenen Werten auf und löse sie nach der gesuchten Größe $y_0$ auf!

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$
	↓	Setze ein und vereinfache die Formel!
$\displaystyle 39$	$=$	$\displaystyle y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{6}{30}}$	$\displaystyle :0{,}5^{\frac{6}{30}}$
$\displaystyle y_0$	$=$	$\displaystyle 44{,}80$

Du erhältst für die Anfangsmasse einen Wert von $44{,}80 \, \text{mg}$

Lösung zur Teilaufgabe A 3.2

In dieser Aufgabe ist die Anfangsmasse $y_0$ schon gegeben. Es wird dieses Mal die vergangene Zeit ( $x$ ) gesucht, nach der weniger als $8 \, \text{mg}$ vorhanden sind.

Du kannst diesen Zusammenhang mithilfe einer Ungleichung beschreiben:

$8 > y$

$8 > 13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$

Löse diese Ungleichung nun nach $x$ auf!

$8 > 13{,}5 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}} \hspace{2cm} |:13{,}5$

$\dfrac{8}{13{,}5} >0{,}5^{\frac{x}{30}}$

Löse die Ungleichung mithilfe des Logarithmus!

$\dfrac{8}{13{,}5} >0{,}5^{\frac{x}{30}}\quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad~~ |\text{log}_{0{,}5}(…)$

$\text{log}_{0{,}5}\left(\dfrac{8}{13{,}5} \right) > \dfrac{x}{30} \hspace{2cm}|\cdot 30$

$30 \cdot \text{log}_{0{,}5}\left(\dfrac{8}{13{,}5} \right) > x$

$22{,}65 > x$

Im $23.$ Jahr ist die Menge an Cäsium-137 auf unter $8 \, \text{mg}$ gesunken.

Lösung zur Teilaufgabe A 3.3

Die Antwortmöglichkeit b) ist richtig.

Prozentanteil nach 10 Jahren

Um die Prozent der ursprünglichen Masse nach 10 Jahren zu berechnen, benötigst du den hinteren Teil der Exponentialfunktion:

$y=y_0 \cdot 0{,}5^{\frac{x}{30}}$

Berechnest du von dieser Funktion $0{,}5^{\frac{x}{30}}$ für $x=10$ kommst du auf den Prozentanteil nach 10 Jahren.

$0{,}5^{\frac{10}{30}}= 0{,}7937 = 79{,}37\%$

Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt-Lösung der Aufgabe anschauen.

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