Tipp: Finde eine Funktion, für die $\sqrt{5}$ eine Nullstelle ist.

Du sollst das Newton-Verfahren verwenden, um $\sqrt 5$ zu bestimmen. Das Newton-Verfahren dient dazu, Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Zunächst benötigst du also eine Funktion $f(x)$, die $\sqrt 5$ als Nullstelle hat, also $f(\sqrt 5) = 0$ erfüllt.

$\sqrt 5$ ist die Zahl, für die $\sqrt{5}^2 = 5$ gilt, also auch $\sqrt{5}^2 - 5 = 0$. Ein guter Kandidat für die gesuchte Funktion ist daher $f(x) = x^2 - 5$. (Es gibt unendlich viele weitere Möglichkeiten, dies ist nur die einfachste.)

Im Newton-Verfahren wendest du Iterationen der Rekursionsformel

an. Berechne dafür die Ableitung von $f$, sie lautet $f'(x) = 2x$. Die Rekursionsformel des Newton-Verfahren für diese Aufgabe lautet also

Erstelle nun eine Wertetabelle, um den Startwert für das Verfahren in die Nähe der Nullstelle zu bringen. Bedenke, dass du nur positive Werte betrachten musst, da die Wurzel immer positiv ist.

Du siehst, dass die Nullstelle zwischen 2 und 3 liegt. Dort wechselt $f$ sein Vorzeichen. Teste nun noch den Mittelwert 2,5: $f(2{,}5) = 1{,}25$.

Das bedeutet, dass die Nullstelle $\sqrt 5$ im Intervall $]2; 2{,}5[$ liegt.

Jeder Startwert im Intervall $]2; 2{,}5[$ ist sinnvoll, z.B. $x_0 = 2$. Setze diesen in die Rekursionsformel ein:

Setze den neuen Wert nun so lang in die Rekursionsformel ein, bis du die gewünschte Genauigkeit erhältst:

Du siehst, dass sich in den letzten beiden Iterationen nur noch die vierte Nachkkommastelle geändert hat.

Somit erhältst du, dass $f(2{,}236) \approx 0$, und damit auch $\sqrt 5 \approx 2{,}236$.