Stochastik, Teil A, Aufgabengruppe 2

Anlässlich einer Studie wurden 300 weibliche und 700 männliche Bewohner einer Großstadt im Alter von 18 bis 30 Jahren dazu befragt, ob sie Interesse an Car-Sharing haben. 20 % der Befragten waren weiblich und gaben an, nicht interessiert zu sein. 8 % der Befragten waren männlich und gaben an, Interesse an Car-Sharing zu haben. Das Kreisdiagramm veranschaulicht die absoluten Häufigkeiten, die sich bei der Befragung ergaben.

a) Ordnen Sie die Beschriftungen 1 bis 4 den Sektoren A bis D korrekt zu und begründen Sie Ihre Zuordnung. (4 BE)

b) Berechnen Sie die Größe des Mittelpunktswinkels desjenigen Sektors, der den Anteil der Befragten veranschaulicht, die männlich waren und angaben, Interesse an Car-Sharing zu haben. (1 BE)

Teilaufgabe a)

Nach genügend langem Durchlesen des Vortextes wird man Ordnung in das Datenmaterial bringen wollen. Man erkennt, dass es um zwei Ereignisse geht: Mann oder Frau (im Folgenden mit $M$ und $\overline{M}$ bezeichnet) sowie Interesse an Car-Sharing oder eben kein Interesse an Car-Sharing, was im Folgenden mit $I$ und $\overline{I}$ bezeichnet. Hiermit ist auch klargestellt, dass jeweils das Gegenereignis vorkommt.

Für einen Überblick eignet sich also entweder eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm.

Beides ist möglich, aber die Vierfeldertafel führt schneller zum Ziel oder verursacht weniger Fehler beim Zuordnen der $8 %$ und $20 %$ Angabe.

Die $8 %$ und die $20 %$ -Angabe gehören jeweils zur Schnittmenge zweier Ereignisse, was im Text an dem Wörtchen "und" erkennbar ist. Beide Werte können also direkt in innere Felder der Tafel eingetragen werden. An der Kreuzung von $I$ -Zeile und $M$ -Spalte bzw. der $\overline{I}$ -Zeile mit der $\overline {M}$ -Spalte.

Insgesamt können die vier gegebene Angaben folgenden Wahrscheinlichkeitswerten zugeordnet werden:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(M) &= \frac{700}{1000} = 0{,}70 \\ P(W)&= P(\overline{M}) = 1-P(M) = \frac{300}{1000} = 0{,}30\\ P(\overline{M}\cap\overline{I}) &= 0{,}20 \\ P(M\cap I) &=0{,}08 \end{aligned}

Die Vierfeldertafel sieht also zunächst so aus:

$\def\arraystretch{1.25} \quad\begin{array} {c|c|c|c}&M&\overline{M}&\\\hline I&\color{green}{0{,}08}&&\\\hline\overline{I}&&\color{green}{0{,}20}& \\\hline&\color{green}{0{,}70}&\color{green}{0{,}30}&\color{green}{1} \end{array}$

Jetzt ergänzt du die Tafel durch Summenbildung der Werte in den Zeilen und Spalten.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {c|c|c|c}&M&\overline{M}&\\\hline I&\color{green}{0{,}08}&\color{red}{0{,}10}&\color{red}{0{,}18}\\\hline\overline{I}&\color{red}{0{,}62}&\color{green}{0{,}20}&\color{red}{0{,}82}\\\hline&\color{green}{0{,}70}&\color{green}{0{,}30}&\color{green}{1}\end{array}$

Die inneren Felder ergeben die Wahrscheinlichkeitswerte der Sektoren des gegebenen Kreisdiagramms. Ordne sie der Größe nach und vergleiche sie mit den Größen der Sektoren.

Für die Größen (absolute Häufigeiten) der Sektoren im Diagramm liest man ab:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(M) &= \frac{700}{1000} = 0{,}70 \\ P(W)&= P(\overline{M}) = 1-P(M) = \frac{300}{1000} = 0{,}30\\ P(\overline{M}\cap\overline{I}) &= 0{,}20 \\ P(M\cap I) &=0{,}08 \end{aligned}

Dann gilt auch für die relativen Häufikeiten:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(M) &= \frac{700}{1000} = 0{,}70 \\ P(W)&= P(\overline{M}) = 1-P(M) = \frac{300}{1000} = 0{,}30\\ P(\overline{M}\cap\overline{I}) &= 0{,}20 \\ P(M\cap I) &=0{,}08 \end{aligned}

Die Vierfeldertafel ergibt die Reihenfolge:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(M) &= \frac{700}{1000} = 0{,}70 \\ P(W)&= P(\overline{M}) = 1-P(M) = \frac{300}{1000} = 0{,}30\\ P(\overline{M}\cap\overline{I}) &= 0{,}20 \\ P(M\cap I) &=0{,}08 \end{aligned}

Damit ergibt sich als Lösung der Aufgabe:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} P(M) &= \frac{700}{1000} = 0{,}70 \\ P(W)&= P(\overline{M}) = 1-P(M) = \frac{300}{1000} = 0{,}30\\ P(\overline{M}\cap\overline{I}) &= 0{,}20 \\ P(M\cap I) &=0{,}08 \end{aligned}

Teilaufgabe b)

Hier sollte der kleinste der Winkel berechnet werden (Sektor D $P(M\cap I)$ , das ist Nr. $3$ ):

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \varphi &= P(M\cap I) \cdot 360^\circ = 28{,}8^\circ \end{aligned}$

Ein paar erklärende Worte, für alle, die sich wundern, dass mit sowenig Formel das richtige Ergebnis erzielt werden kann:

Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen aus dem Bereich $[0; 1]$ , sind also Anteile vom Ganzen. Der ganze Winkel beträgt $360^\circ$ und durch die Multiplikation mit der Häufigkeit wird der gewünschte Anteil berechnet.

Um noch eine Stufe weiter auszuholen: Betrachte es als Verhältnis-Ansatz oder direkte Proportionalität:

Der Anteil $p$ verhält sich zum Ganzen ( $1$ ) wie der gesuchte Winkel zum Vollwinkel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \frac{p}{1} &= \frac{\varphi}{360^\circ} \\ \varphi &= \frac{p}{1} \cdot 360^\circ = p\cdot 360^\circ \end{aligned}$

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