Aufgaben zur Trigonometrie - lernen mit Serlo!

Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit $a=b$ . Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind..

a=44,2cm

c=63,4cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

geg: a=b= 44,2cm c=63,4cm

ges: h, $\alpha,\;\beta,\;\gamma$

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst $x$ berechnen.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{c}{2}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{63{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 31{,}7cm$

$h$ berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendet.

$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-x^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(44{,}2cm\right)^2-\left(31{,}7cm\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{1953{,}64cm^2-1004{,}89cm^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{948{,}75cm^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle 30{,}8cm$

$\alpha$ mit Hilfe von Sinus berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \frac{30{,}8cm}{44{,}2cm}$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 44{,}2°\ =\ \beta$
	↓	Es handelt sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit $\alpha=\beta$

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, $\gamma$ ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot44{,}2°$
	↓	Multiplizieren und subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle 91{,}6°$

$\Rightarrow$ $h=30{,}8cm;\alpha=\beta=44{,}2^\circ;\gamma=91{,}6^\circ$

Achtung: Das Dreieck $ABC$ ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel $90°$ groß ist.

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a=114,5m

$\alpha$ =32,3°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens

Gegeben sind $a=b= 114{,}5\,m$ und $\alpha=\beta=32{,}3^\circ$

Gesucht sind $c$ , $h$ und $\gamma$

Zur Verdeutlichung machst du am besten eine Skizze.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt $180^\circ$ ergeben, kannst du $\gamma$ mit der Winkelsumme ausrechnen.

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot32{,}3°$
	$=$	$\displaystyle 115{,}4°$

$h$ kannst du mit Hilfe des Sinus in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle DBC$ berechnen.

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\sin\left(32{,}3°\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 61{,}2m$

Weil die Höhe $h$ die Seite $c$ in der Mitte teilt, bekommt man $2$ gleich lange Strecken $x$ .

$c$ kannst du leicht berechnen, indem du die Seite $x$ verdoppelst.

$x$ kannst du berechnen, indem du in dem rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$ den Satz des Pythagoras anwendest.

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \sqrt{a^2-h^2}$
	↓	Bekannte Werte einsetzen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{\left(114{,}5m\right)^2-\left(61{,}2m\right)^2}$
	↓	Zunächst quadrieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{13110{,}25m^2-3745{,}44m^2}$
	↓	Nun subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9364{,}81m^2}$
	↓	Wurzel ziehen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

Alternative: benutze den Kosinus im rechtwinkligen Dreieck $\triangle{DBC}$

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{b}$
	↓	Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 114{,}5m\cdot\cos\left(32{,}3^\circ\right)$
	↓	Multiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 96{,}8\,m$

$c=2\cdot96{,}8m=193{,}6m$

Damit hast du die Lösung $h=61{,}2\,m; c=193{,}6\,m;\gamma=115{,}4^\circ$

Anmerkung

Wenn du den Sinussatz kennst, kannst du $c$ auch direkt berechnen:

$\displaystyle \frac{c}{\sin (\gamma)}$	$=$	$\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha)}$
	↓	Mit $\sin (\gamma)$ multiplizieren
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle \frac{a\cdot\sin (\gamma)}{\sin (\alpha)}$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\displaystyle \frac{114{,}5\cdot 0{,}53}{0{,}90}$
	$=$	$\displaystyle 193{,}6\,m$

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c=35,4cm

$\beta$ =43,9°

h=14,8cm

$\alpha=\beta=$ 28,3°

a=146,4m

h=58,4m

$\displaystyle \cos\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{a}$
	↓	Nach a umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \frac{17{,}7cm}{\cos\left(43{,}9°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 24{,}6cm$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot43{,}9°$
	$=$	$\displaystyle 92{,}2°$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{35{,}4cm}{2}$
	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach $h$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}7cm\cdot\tan\left(43{,}9°\right)$
	↓	Multplzieren.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 17{,}0cm$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot28{,}3°$
	$=$	$\displaystyle 123{,}4°$

$\displaystyle \tan\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach x umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\tan\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 27{,}5cm$
	↓	$c$ erhälst du, indem du die Seite $x$ verdoppelst (siehe Skizze).
$\displaystyle c$	$=$	$\displaystyle 2\cdot27{,}5cm$
	$=$	$\displaystyle 55cm$

$\displaystyle \sin\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{b}$
	↓	Nach $b$ umstellen und Werte einsetzen.
$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle \frac{14{,}8cm}{\sin\left(28{,}3°\right)}$
	↓	Dividieren.
	$=$	$\displaystyle 31{,}2cm$

$\displaystyle \sin\left(\beta\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{a}$
	↓	Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 23{,}5°$

$\displaystyle \gamma$	$=$	$\displaystyle 180°-2\cdot23{,}5°$
	$=$	$\displaystyle 133°$