Aufgaben zur Bestimmung von Nullstellen

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Gegeben ist die Funktionenschar $f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5$ mit $k\neq0$ .

Bestimme $k$ so, dass es nur eine Nullstelle gibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$f_k(x)=kx^2+kx-7{,}5$

Die Funktion hat genau eine Nullstelle, wenn die Diskriminante gleich Null wird.

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle k^2-4\cdot k\cdot\left(-7{,}5\right)$
	↓	Setze die Diskriminante gleich Null.
	$=$	$\displaystyle k^2+30k$
$\displaystyle k^2+30k$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle k$
	↓	Da $k\neq0$ kannst du durch $k$ teilen
$\displaystyle k+30$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -30$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle -30$

DIe Funktion $f_{k} (x)$ hat für $k = - 30$ genau eine Nullstelle.

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Bestimme $k$ so, dass $x = - 2,5$ eine Nullstelle ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die $x$ -Werte, für die $f (x) = 0$ wird.

$\displaystyle f_k\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle kx^2+kx-7{,}5$
	↓	Setze die Funktion gleich $0$ .
$\displaystyle kx^2+kx-7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Mitternachtsformel anwenden.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-k\pm\sqrt{k^24\cdot k\cdot\left(-7{,}5\right)}}{2\cdot k}$
	↓	Unter der Wurzel zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-k\pm\sqrt{k^2+30k}}{2k}$

Setze den Term gleich $- 2,5$ und löse die Gleichung.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2+30k}}{2k}&=&-2{,}5&|\cdot 2k\\-k\pm\sqrt{k^2+30k}&=&-5k&|+k\\\pm\sqrt{k^2+30k}&=&-4k&|()^2\\k^2+30k&=&16k^2&|-(k^2+30k)\\0&=&15k^2-30k&|:k\;(\text{möglich, da} \:k\neq0)\\0&=&15k-30&|+30\\30&=&15k&|:15&\\2&=&k&\end{array}$

Die Funktion $f_{k} (x)$ für $k = 2$ eine Nullstelle bei $x = - 2,5$ .

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