Aufgaben mit drei Unbekannten

Wähle die Variable $w$ und berechnet das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $w$:

Nun multiplizierst du jede der Gleichungen so, dass jedes $w$ den Koeffizienten 5 hat.

Dann addierst du ${\mathrm{I}}^{\prime }$ zu $\mathrm{II}$ und ${\mathrm{I}}^{\prime }$ zu ${\mathrm{III}}^{\prime }$.

Du löst nun das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ besteht.

Dazu wählst du die Variable $v$ und bestimmst das kgV ihrer Koeffizienten:

Multipliziere nun die Gleichungen entsprechend:

Subtrahiere $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ von $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}$, um $v$ zu eliminieren.

Nun löst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(5)}$ nach $u$ auf und setzt seinen Wert in ${\mathrm{II}}^{\prime \prime }$ ein.

Nun setzt du die beiden Werte in ${\mathrm{I}}^{\prime }$ ein und löst nach $w$ auf.

$\begin{array}{rrcrcrcr}\mathrm{I}& 2x& +& 10y& -& 5z& =& -1\\ \mathrm{II}& 10x& -& 30y& +& 3z& =& -1\\ \mathrm{III}& -4x& +& 15y& -& 2z& =& 1\end{array}$

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache der Koeffizienten von $y$ (alternativ: von $x$ oder $z$).

Dann multiplizierst du die Gleichungen so, dass alle Koeffizienten von $y$ 30 sind.

$\begin{array}{rrcrcrcr}3\cdot \mathrm{I}\to {\mathrm{I}}^{\prime }& 6x& +& 30y& -& 15z& =& -3\\ \mathrm{II}& 10x& -& 30y& +& 3z& =& -1\\ 2\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& -8x& +& 30y& -& 4z& =& 2\end{array}$

Addiere ${\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{II}$ und subtrahiere ${\mathrm{I}}^{\prime }$ von $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$, um die Terme mit $y$ zu eliminieren.

$\begin{array}{rrcrcrcr}{\mathrm{I}}^{\prime }& 6x& +& 30y& -& 15z& =& -3\\ \mathrm{I}\mathrm{I}+{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }& 16x& & & -& 12z& =& -4\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }-{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& -14x& & & +& 11z& =& 5\end{array}$

Löse nun zunächst das "kleine" Gleichungssystem, das aus $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }$ und $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ besteht.

Dafür bestimmst du zunächst das kgV der Koeffizienten von $z$ und multiplizierst dann die Gleichungen so, dass vor dem $z$ das kgV steht.

$\begin{array}{rccccr}11\cdot \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 176x& -& 132z& =& -44\\ 12\cdot \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }& -168x& +& 132z& =& 60\end{array}$

Dann addierst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }$ und $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$, um den Term mit $z$ zu eliminieren.

$\begin{array}{rccccr}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 176x& -& 132z& =& -44\\ \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }+\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }\to \mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}& 8x& & & =& 16\end{array}$

Nun löst du $\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}$ nach $x$ auf und setzt den Wert in $\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }$ ein.

$\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{(4)}x=2$

$\begin{array}{rrcr}x=2\text{ in }\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime }\to \mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime \prime \prime }& 176\cdot 2-132z& =& -44\\ & 352-132z& =& -44& |-352\\ & -132z& =& -396& |:(-132)\\ & z& =& 3\end{array}$

$\begin{array}{rrcr}{\mathrm{I}}^{\prime }\to {\mathrm{I}}^{\prime \prime }& 6\cdot 2+30y-15\cdot 3& =& -3\\ & -33+30y& =& -3& |+33\\ & 30y& =& 30& |:30\\ & y& =& 1\end{array}$

Nun kannst du die Lösungsmenge aufschreiben: