Die beiden Funktionen f(x)=3x3−2x2−x und g(x)=4x3−5x2+3x−12 sind gegeben. Es gilt x∈R. Berechne die Schnittpunkte von f(x) und g(x).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte von Funktionen
Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre x- und y-Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach x aufzulösen.
Zuerst wird ein Schnittpunkt berechnet. Mit diesem werden anschließend die weiteren Schnittpunkte mithilfe der Polynomdivision berechnet.
f(x)=3x3−2x2−x
g(x)=4x3−5x2+3x−12
4x3−5x2+3x−12x3−5x2+3x−12x3−3x2+3x−12===3x3−2x2−x−2x2−x−x∣−3x3∣+2x2∣+x
x3−3x2+4x−12=0
x1=3 durch Taschenrechner
Funktionen gleichsetzten und nach 0 auflösen.
Die so enstandene Funktion mit table im Taschenrechner berechnen und eine passende Nullstelle heraussuchen.
(x3−3x2+4x−12):(x−3)=x2+4−(x3−3x2)0+4x−12−(4x−12)0
Neue Funktion: x2+4
Mit dieser Nullstelle wird die Polynomdivision gemacht.
x2+4x2x===0−4−4∣−4∣
Die neue Funktion nach x auflösen.
Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren x-Koordinaten der Schnittpunkte.
Die vorher ausgerechnete x-Koordinate 3 ist somit die einzige Koordinate.
⇒ Es gibt nur einen Schnittpunkt
Setze den x-Wert in eine der beiden Funktionen f(x) oder g(x) ein.
y=f(3)=3⋅33−2⋅32−3
y=f(3)=81−18−3
y=f(3)=60
Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei A(3∣60) .