Tipp: Schneiden sich zwei Funktionen haben ihre $x$- und $y$-Koordinaten an diesem Punkt denselben Wert. Folglich muss man beide Funktionen gleichsetzen und auf eine Seite bringen, um nach $x$ aufzulösen.

Gleichsetzten der Funktionen

$f(x)=3x^3-2x^2-x$

$g(x)=4x^3-5x^2+3x-12$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}4x^3-5x^2+3x-12&=&3x^3-2x^2-x&|-3x^3\\x^3-5x^2+3x-12&=&-2x^2-x&|+2x^2\\x^3-3x^2+3x-12&=&-x&|+x\end{array}$

$x^3-3x^2+4x-12 = 0$

$x_1=3$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$ durch Taschenrechner oder Raten einer Nullstelle

Berechnung einer Nullstelle mittels Polynomdivision

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3-3x^2+4x-12):(x-3)=x^2+4\\\underline{-(x^3-3x^2)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;+4x-12\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(4x-12)}\;\;\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}$

Neue Funktion: $x^2+4$

Berechnung der restlichen Nullstellen

Auflösen der neuen Funktion nach x:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}x^2+4&=&0&|-4\\x^2&=&-4&|\sqrt{}\\x&=&\sqrt{-4}\end{array}$

Da nun unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen und damit auch keine weiteren $x$-Koordinaten der Schnittpunkte.

Die vorher ausgerechnete $x$-Koordinate $3$ ist somit die einzige Koordinate.

$\Rightarrow$ Es gibt nur einen Schnittpunkt

Setze den $x$-Wert in eine der beiden Funktionen $f(x)$ oder $g(x)$ ein.

$y=f(3)=3\cdot3^3-2\cdot3^2-3$

$\phantom{y=f(3)}=81-18-3$

$\phantom{y=f(3)}=60$

Der Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt bei $P(3\vert60)$ .