Da für jede Funktion $g_k$ der Definitionsbereich $\mathrm{R}=]-\infty;+\infty[$ ist, bedeutet die Untersuchung des Verhaltens "an den Grenzen" des Definitionsbereichs die Bestimmung folgender Grenzwerte:

Da der Scharparameter $k$ sowohl negativ als auch positiv sein kann, ist zu erwarten, dass die Ergebnisse der Grenzwertbestimmungen vom zuständigen $k$ abhängen können.

So bestimmst du die Grenzwerte:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle \lim_{x\rightarrow{\color{red}{\pm}\infty}}g_k(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow\color{red}{\pm}\infty}[kx^3+3(k+1)x^2+9x]&|x^3\;\text{ausklammern}\\&=&\displaystyle \lim_{x\rightarrow\color{red}{\pm}\infty}x^3[k+\underbrace{\frac{3(k+1)}{x}}_{\color{red}{\rightarrow0}}+\displaystyle \underbrace{\frac{9}{x^2}}_{\color{red}{\rightarrow0}}]\\&=&\displaystyle \lim_{x\rightarrow \color{red}{\pm}\infty}k\cdot x^3\;\text{Jetzt Vorzeichen beachten:}\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow\color{red}{\color{red}{+}}\infty}g_k(x)&=&\color{red}{+}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k>0}\\&=&\color{red}{-}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k<0}\\\displaystyle \lim_{x\rightarrow\color{red}{-}\infty}g_k(x)&=&\color{red}{-}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k>0}\\&=&\color{red}{+}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k<0}\end{array}$

Ergebnis

Für die ungeraden ganzrationalen Funktion 3. Grades $g_k$ gehen an den Grenzen des Definitionsbereichs, also für $x\rightarrow+\infty$ und für $x\rightarrow-\infty$, die Funktionswerte entgegengesetzt gegen Unendlich. Der "Leitkoeffizient" $k$ bestimmt dies mit seinem Vorzeichen genauer.

Die Wendepunkte ganzrationaler Funktionen 3. Grades sind zu bestimmen.

Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes ist, dass die 2. Ableitung an der Stelle Null wird.

So berechnest du die 1. und 2. Ableitung von $g_k$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}g_k(x)&=&kx^3+3(k+1)x^2+9x\\g_k'(x)&=&3kx^2+6(k+1)x+9\\g_k''(x)&=&6kx+6(k+1)\end{array}$

Setze $g_k''(x)$ gleich Null und löse die Gleichung nach $x$ auf:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}6kx+6(k+1)&=&0&|\;-6(k+1)\\6kx&=&-6(k+1)&|\;:6k\\x&=&\displaystyle -\frac{1}{k}-1\end{array}$

Dass sich für diesen von $k$ abhängigen x-Wert $-\frac1k -1$ tatsächlich ein Wendepunkt $W_k$ ergibt, bestätigt die 3. Ableitung $g_k'''(x)$, da sie von Null verschieden ist:

$g_k'''(x)=6k\neq0$, wegen $k\in\mathrm{R}\setminus{\{0}\}$.

c)

(4 BE)

Der Wendepunkt $W_k$ liegt auf der y-Achse, wenn sein x-Wert Null ist.

Setze den x-Wert des Wendpunkts gleich Null und löse die Gleichung nach $k$ auf:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle -\frac1k-1&=&0&|\;\cdot k\\-1-k&=&0&|\;+k\\k&=&-1\end{array}$

Die Funktionsgleichung für $k=-1$ lautet

$g_{-1}(x)=-x^3+9x$.

$x=0$ liefert die y-Koordinate des Wendepunkts $W_{-1}$:

$g_{-1}(0)=-0^3+9\cdot 0=0$.

Also liegt der Wendepunkt $W_{-1}$ im Koordinatenursprung.

Für die Steigung von $g_{-1}$ im Punkt $(0|0)$ erhältst du:

$g_{-1}'(x)=-3x^2+9\;\Rightarrow\; g_{-1}'(0)=9$

Die Wendetangente der Funktionenschar hat also für die Funktion mit $k=-1$ die Steigung $9$.

Als Steigungsdreieck der eingezeichneten Tangente nimmst du das Dreieck mit Koordinatenursprung, dem Punkt $(1|0)$ und dem Tangentenpunkt für $x=1$.

Der y-Wert dieses Tangentenpunktes hat den Wert $9$.

Damit kannst du die y-Achse wie gewünscht skalieren.