Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben
Gegeben ist die Funktion f:x↦2−ln⁡(x−1)f:x\mapsto2-\ln(x-1) mit maximalem Definitionsbereich DfD_f. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.
a)
(3 BE)
Zeigen Sie, dass Df=]1;+∞[D_f=]1;+\infty[ ist und geben Sie das Verhalten von ff an den Grenzen des Definitionsbereichs an.
b)
(2 BE)
Berechnen Sie die Nullstelle von ff.
c)
(5 BE)
Beschreiben Sie, wie GfG_f schrittweise aus dem Graphen der in R+\mathbb{R}^+ definierten Funktion x↦ln⁡ x x\mapsto \ln\,x\,hervorgeht. Erklären Sie damit das Monotonieverhalten von GfG_f.
d)
(4 BE)
Zeigen Sie, dass F:x↦3x−(x−1)⋅ln⁡(x−1) F:x\mapsto3x-(x-1)\cdot \ln(x-1)\, mit Definitionsbereich DF=]1;+∞[D_F =]1;+\infty[ eine Stammfunktion von ff ist, und bestimmen Sie den Term der Stammfunktion von ff, die bei x=2x=2 eine Nullstelle hat.
In der Aufgabe sind Eigenschaften einer Logarithmusfunktion zu untersuchen.

Lösung Teilaufgabe a)

Gegeben ist die Funktion Bedingung für den maximalen Definitionsbereich ist, dass das Argument x−1x-1 des Funktionsterms positiv ist.
Löse die Ungleichung:
x−1>0⇒x>1x-1>0\quad\Rightarrow x>1
Also gilt: Df=]1;+∞[D_f=]1;+\infty[
Zu untersuchen ist folgendes Grenzwertverhalten der Funktion:
a)  lim⁡h→0h>0f(1+h)  \;\displaystyle\lim_{{h\rightarrow 0}\\h>0}f(1+h)\;, also die Annäherung von rechts an 11?
b)  lim⁡x→+∞f(x)  \displaystyle \;\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\;, also das Verhalten für beliebig große xx?
Es gilt:
a) lim⁡h→0h>0[2−ln⁡(1+h−1]=lim⁡h→0[2−ln⁡(h)⏟→−∞]=2+∞=+∞\displaystyle \lim_{{h\rightarrow 0}\\h>0}[2-\ln(\color{red}{1+h}-1]=\lim_{h\rightarrow 0}[2-\underbrace{\ln(h)}_{\rightarrow-\infty}]=2+\infty=+\infty
b)  lim⁡x→+∞[2−ln⁡(x−1)⏟→+∞]=−∞\;\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}[2-\underbrace{\ln(x-1)}_{\rightarrow+\infty}]=-\infty
Ergebnis:
Am linken Rand des Definitionsbereichs geht die Funktion gegen plus Unendlich, nach rechts geht sie gegen minus Unendlich.

Lösung Teilaufgabe b)

Setze den Funktionsterm gleich Null und löse die Gleichung.
%%\begin{array}{rcll}2-ln(x-1)&=&0&|\;+ln(x-1)\\ln(x-1)&=&2&|\;e^{()}\\x-1&=&e^2&|\;+1\\x&=&1+e^2\end{array}%%
Ergebnis:
1+e21+e^2 ist die gesuchte Nullstelle.

Lösung Teilaufgabe c)

Der Graph GfG_f kann insoweit "schrittweise" aus dem Graphen der Funktion ln⁡\ln entwickelt werden, als du am Term f(x)f(x) erkennen kannst, dass er durch zwei Verschiebungen und eine Spiegelung an der xx-Achse aus dem Term ln⁡(x)\ln(x) erhalten werden kann:

Transformationen

  1. Schritt: Verschiebe den Graphen von ff um 1 LE1\,LE längs der xx-Achse nach rechts.
  2. Schritt: Spiegle jetzt den erhaltenen Graphen an der xx-Achse.
  3. Schritt: Verschiebe den erhaltenen Graphen um 2 LE2 \ LE längs der yy-Achse nach oben.
Der 1. Schritt der Transformation ändert das Monotonieverhalten der ln-Funktion nicht. Der Graph bleibt monoton steigend.
Im 2. Schritt wird aus aus dem steigenden Graphen ein monoton fallender.
Der 3. Schritt ändert das Monotonieverhalten nicht.
Ergebnis:
GfG_f ist monoton fallend.
Nicht verlangter Zusatz:
Der 1. Schritt der Transformation erbringt den neuen Definitonsbereich ]1;+∞[]1;+\infty[, der mit den beiden nächsten Schritten nicht mehr verändert wird.
Überzeuge dich im nachfolgenden Applet durch schrittweises Ändern der drei Schieberegler a,b,ca,b,c,von der Möglichkeit die Funktion f:x↦ln⁡ xf: x \mapsto \ln\,x schrittweise in die Funktion f:x↦−ln⁡(x−1)  +2f:x\mapsto -\ln(x-1)\;+2 überzuführen.
Verallgemeinerung der Aufgabenstellung
Die Aufgabenstellung ist ein Sonderfall allgemeinerer sogenannter "Transformationen", bei denen ein gegebener Graph mit dem Term f(x)f(x) an den Koordinatenachsen gespiegelt, gestreckt, gestaucht oder beliebig im Koordinatensystem verschoben wird.
Die Paramter a,b,c,da,b,c,d haben dabei ablesbare Bedeutungen:
cf[b(x+a)]+d\quad\quad\quad\quad\quad \quad \color{red}{c}f[\color{red}{b}(x+\color{red}{a})]+\color{red}{d}
aa positiv/negativ: Verschiebung nach links/rechts.
∣b∣|b| kleiner/größer 1  1\;: Streckung/Stauchung längs der xx-Achse. Falls bb negativ: zusätzlich Spiegelung an der yy-Achse.
∣c∣|c| kleiner/größer 11 : Stauchung/Streckung längs der yy-Achse. Falls cc negativ: zusätzlich Spiegelung an der xx-Achse.
dd positiv/negativ: Verschiebung nach oben/unten.
In der gestellten Aufgabe gilt: a=−1;b=1;c=−1;d=2a=-1;b=1;c=-1;d=2.
Die allgemeine Aufgabenstellung findet vor allem Anwendung bei Sinusfunktionen.

Lösung Teilaufgabe d)

Die gegebene Funktion
ist eine der Stammfunktionen von ff, wenn ihr Ableitungsterm f(x)f(x) ergibt.
Bilde F′(x)F'(x):
%%\begin{array}{rcll}F(x)&=&3x-(x-1)\cdot ln(x-1)\\F'(x)&=&3-[\overbrace{1 \cdot ln(x-1)+(x-1) \cdot \underbrace{\frac{1}{x-1} \cdot 1}_{\text{Kettenregel}}}^{\text{Produktregel}}]\\F'(x)&=&3-[ln(x-1)+1]\\F'(x)&=&2-ln(x-1)\end{array}%%
Damit ist gezeigt, dass FF eine Stammfunktion von ff ist.
Alle Stammfunktionen von ff werden erfasst durch:
Setze den Punkt (2∣0)(2|0) in Fc(x)F_c(x) ein und löse die Gleichung nach cc auf:
%%\begin{array}{rcll}3\cdot \color{red}{2}-(\color{red}{2}-1)\cdot \underbrace{ln(\color{red}{2}-1)}_{{0}}+c&=&0\\6+c&=&0\\c&=&-6\end{array}%%
Ergebnis:
Die Stammfunktion mit dem Term hat für x=2x=2 eine Nullstelle.
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Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.

Hinderniselement

Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die x-Achse die Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich %%-2\leq x\leq 2%%. Die Profillinie der Abfahrt wird für %%2\leq x \leq 8%% durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion %%f%% beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Modell Skate-Park

a)

(2 BE)

Erläutern Sie die Bedeutung des Funktionswerts %%f(2)%% im Sachzusammenhang und geben Sie den Term der Funktion %%q%% an, deren Graph %%G_q%% für %%-8 \leq x \leq -2%% die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.

b)

(5 BE)

Berechnen Sie die Stelle %%x_m%% im Intervall %%[2;8]%%, an der die lokale Änderungsrate von %%f%% gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.

c)

(3 BE)

Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert %%x_m%% könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutern Sie, wie Sie dabei vorgehen würden.

d)

(2 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels %%\alpha%%, den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).

e)

(3 BE)

Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen %%G_f%% und der x-Achse im Bereich %%2 \leq x \leq 6%% sowie die dazu symmetrische Fläche im II. Quadranten. Berechnen Sie unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion %%F%%, wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.

In der Aufgabe wird eine Skat-Park-Anlage durch Funktionsgraphen modelliert.

Lösung Teilaufgabe a)

a)
(2 BE)
Da die vordere Seitenfläche des Hinderniselements symmetrisch zur y-Achse sein soll, erhält man die Funktionsgleichung der Auffahrtslinie qqdurch Spiegelung der (bereits in Aufgabe 1 betrachteten) Funktion f:f(x)=2−ln(x−1)f: f(x)=2-ln(x-1) mit Df=[2;8]D_f=[2;8] an der y-Achse.
Für die gespiegelte Funktion qq gilt:
f(2)f(2) gibt die Höhe der Plateaulinie an. Und wegen q(−2)=f(2)q(-2)=f(2) ist gesichert, dass das Plateau horizontal verläuft und die Übergänge von Auffahrt zu Plateau und von Plateau zu Abfahrt ohne Sprünge erfolgen.
Für die Plateauhöhe gilt:
q(−2)=f(2)=2−ln(2−1)=2−ln 1=2q(-2)=f(2)=2-ln(2-1)= 2-ln\,1=2.

Lösung Teilaufgabe b)

b)
(5 BE)
In dieser Teilaufgabe ist eine lokale Änderungsrate von der mittleren Änderungsrate zu unterscheiden.

Die lokale Änderungsrate von ff an der Stelle xmx_m ist der Ableitungswert für xmx_m.
Bilde die Ableitung von ff:
f′(x)=−1x−1f'(x)=\displaystyle-\frac{1}{x-1} ⇒\quad\Rightarrow
f′(xm)=11−xmf'(x_m)=\displaystyle \frac{1}{1-x_m}.
Die mittlere Änderungsrate von ff im Intervall [2;8][2;8] ist die Steigung mm der Strecke zwischen den Punkten (2;f(2))(2;f(2)) und (8;f(8))(8;f(8)).
Es gilt:
m=f(8)−f(2)8−2m=\displaystyle\frac{f(8)-f(2)}{8-2}
m=2−ln 7−26=−ln 76m=\displaystyle \frac{2-ln\,7-2}{6}=\frac{-ln\,7}{6}.
Bedingung für xmx_m ist die Gleichung:

%%\begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{1}{1-x_m}&=&\displaystyle \frac{-ln\,7}{6}&|\cdot 6\cdot(1-x_m)\\6&=&-ln\,7\cdot(1-x_m)&|:ln\,7\,|+1\\x_m&=&\displaystyle 1+\frac{6}{ln\,7}\\x_m&\approx&4,08\end{array}%%

Für rund 4,084,08 ist die lokale Änderungsrate von ff gleich der mittleren Änderungsrate des Intervalls [2;8][2;8].

Lösung Teilaufgabe c)

c)
(3 BE)
Du zeichnest als Lösung zur Strecke [AB] mit A(2∣f(2)A(2|f(2)) und B(8∣f(8)B(8|f(8)) eine parallele Gerade, die ff berührt. D.h. du legst näherungsweise die Tangente an den Graphen von ff, die parallel zur Sekante [AB][AB] ist.

Tangente graphisch

Du entnimmst dem x-Wert des Berührpunktes der Tangente mit dem Graphen von ff, dass er etwas größer ist als 4.

Lösung Teilaufgabe d)

d)
(2 BE)
Der Winkel α\alpha ergibt sich über den Neigungswinkel der Tangente tt im Punkt P(2∣f(2))P(2|f(2)) an den Graphen GfG_f.
Für den Neigungswinkel α‘\alpha‘ von tt gilt:

%%\begin{array}{rcll}tan(\alpha')&=&f'(2)\\tan(\alpha')&=&\displaystyle- \frac{1}{2-1}\\tan(\alpha')&=&-1&|\;tan^{-1}\\\alpha'&=&-45°\end{array}%%

Hilfestellung zu negativen Steigungen
Der Neigungswinkel einer Tangente mit einer negativen Steigung ergibt sich aus dem Taschenrechner als negativer Winkel. Das ist der Winkel, den die Achse mit der Tangente im Uhrzeigersinn einschließt.

Winkelberechnung

Da die Plateaulinie zur x-Achse parallel ist gilt:
α+45°=180°⇒α=135°\alpha+45°=180°\quad\Rightarrow\quad\alpha=135°

Der Winkel, den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen, beträgt 135°135°.

Lösung Teilaufgabe e)

e)
(3 BE)
Die Flächen in den Intervallen [−6;−2][-6;-2] und [2;6][2;6] sind kongruent, deshalb ergibt sich als Gesamtwerbefläche AA:
%%\begin{array}{rcll}A&=&2\cdot \displaystyle \int_2^6f(x)\mathrm{dx}\\&=&2\cdot\big[F(x)\big]_2^6\\&=&2\cdot\big[3x-(x-1)\cdot ln(x-1)\big]_2^6\\&=&2\cdot[3\cdot 6-(6-1)\cdot ln(6-1)-(3\cdot 2-(2-1)\cdot ln(2-1))]\\&=&2\cdot[18-5\cdot ln(5)-(6-\underbrace {ln(1)}_\color{red}{0})]\\&=&2\cdot(12-5\cdot ln(5))\\&=&24-10\cdot ln(5)\\A&\approx&7,91\end{array}%%

Für die Werbefläche des Skate-Parks stehen rund 7,91 m27,91\,m^2 zur Verfügung.
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Betrachtet wird die Schar der in %%\mathrm{R}%% definierten Funktionen $$g_k:x\mapsto kx^3+3\cdot(k+1)x^2+9x\; \text{mit}\,k\in \mathrm{R}\setminus\{0\}$$ und den zugehörigen Graphen %%G_k%%. Für jedes %%k%% besitzt der Graph %%G_k%% genau einen Wendepunkt %%W_k%%.

a)

(2 BE)

Geben Sie das Verhalten von %%g_k%% an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von %%k%% an.

b)

(3 BE)

Bestimmen Sie die x-Koordinate von %%W_k%% in Abhängigkeit von %%k%%.

%%\quad\quad\quad\quad%%(zur Kontrolle: %%x= -\frac{1}{k}-1)%%

c)

(4 BE)

Bestimmen Sie den Wert von %%k%% so, dass der zugehörige Wendepunkt %%W_k%% auf der y-Achse liegt. Zeigen Sie, dass in diesem Fall der Punkt %%W_k%% im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d.h. die Tangente an %%G_k%% im Punkt %%W_k%%, die Steigung %%9%% hat.

d)

(2 BE)

Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von %%k%% zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert.

Bestimmen Sie die fehlenden Zahlenwerte an den Markierungsstrichen der y-Achse mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks an der Wendetangente und tragen Sie die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein.

In der Teilaufgabe ist eine Funktionenschar ganzrationaler Funktionen 3. Grades zu untersuchen.

Für jedes %%k%% besitzt der Graph %%G_k%% genau einen Wendepunkt %%W_k%%.

Betrachtet wird die Schar der in %%\mathrm R%% definierten Funktionen $$g_k:x\mapsto \,kx^3+3\cdot(k+1)x^2+9x\;\;\text{mit}\;k\in \mathrm{R}\setminus{\{0\}}$$ und dem zugehörigen Graphen %%G_k%%.

Für jedes %%k%% besitzt der Graph %%G_k%% genau einen Wendepunkt %%W_k%%.

Hinweis zur Aufgabenstellung

Da für die Schar gilt %%k\neq0%%, ist jede Funktion der Schar vom Grad %%3%%.

Wenn du mit ganzrationalen Funktionen gut vertraut bist, dann weißt du vielleicht, auch ohne den Hinweis in der Aufgabenstellung, dass jede ganzrationale Funktion 3. Grades mit %%D=\mathrm R%% genau einen Wendepunkt besitzt und überdies zu diesem Wendpunkt punktsymmetrisch ist.

Solche tiefergreifenden Kenntnisse brauchst du aber nicht zu haben, um mit der Aufgabe gut zurecht zu kommen.

Lösung Teilaufgabe a)

a)

(2 BE)

Da für jede Funktion %%g_k%% der Definitionsbereich %%\mathrm{R}=]-\infty;+\infty[%% ist, bedeutet die Untersuchung des Verhaltens "an den Grenzen" des Definitionsbereichs die Bestimmung folgender Grenzwerte:$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}g_k(x)\;\text{und}\;\lim_{x\rightarrow-\infty}g_k(x)$$

Da der Scharparameter %%k%% sowohl negativ als auch positiv sein kann, ist zu erwarten, dass die Ergebnisse der Grenzwertbestimmungen vom zuständigen %%k%% abhängen können.

So bestimmst du die Grenzwerte:

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle \lim_{x\rightarrow{\color{red}{\pm}\infty}}g_k(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow\color{red}{\pm}\infty}[kx^3+3(k+1)x^2+9x]&|x^3\;\text{ausklammern}\\ &=&\displaystyle \lim_{x\rightarrow\color{red}{\pm}\infty}x^3[k+\underbrace{\frac{3(k+1)}{x}}_{\color{red}{\rightarrow0}}+\displaystyle \underbrace{\frac{9}{x^2}}_{\color{red}{\rightarrow0}}]\\ &=&\displaystyle \lim_{x\rightarrow \color{red}{\pm}\infty}k\cdot x^3\;\text{Jetzt Vorzeichen beachten:}\\ \displaystyle \lim_{x\rightarrow\color{red}{\color{red}{+}}\infty}g_k(x)&=&\color{red}{+}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k>0}\\ &=&\color{red}{-}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k<0}\\ \displaystyle \lim_{x\rightarrow\color{red}{-}\infty}g_k(x)&=&\color{red}{-}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k>0}\\ &=&\color{red}{+}\infty\quad\text{falls}\;\;\color{red}{k<0}\end{array}%%

Ergebnis

Für die ungeraden ganzrationalen Funktion 3. Grades %%g_k%% gehen an den Grenzen des Definitionsbereichs, also für %%x\rightarrow+\infty%% und für %%x\rightarrow-\infty%%, die Funktionswerte entgegengesetzt gegen Unendlich. Der "Leitkoeffizient" %%k%% bestimmt dies mit seinem Vorzeichen genauer.

Lösung Teilaufgabe b)

b)

(3 BE)

Die Wendepunkte ganzrationaler Funktionen 3. Grades sind zu bestimmen.

Notwendige Bedingung für das Vorliegen eines Wendepunktes ist, dass die 2. Ableitung an der Stelle Null wird.

So berechnest du die 1. und 2. Ableitung von %%g_k%%:

%%\begin{array}{rcll} g_k(x)&=&kx^3+3(k+1)x^2+9x\\g_k'(x)&=&3kx^2+6(k+1)x+9\\ g_k''(x)&=&6kx+6(k+1)\end{array}%%

Setze %%g_k''(x)%% gleich Null und löse die Gleichung nach %%x%% auf:

%%\begin{array}{rcll} 6kx+6(k+1)&=&0&|\;-6(k+1)\\ 6kx&=&-6(k+1)&|\;:6k\\ x&=&\displaystyle -\frac{1}{k}-1\end{array}%%

Dass sich für diesen von %%k%% abhängigen x-Wert %%-\frac1k -1%% tatsächlich ein Wendepunkt %%W_k%% ergibt, bestätigt die 3. Ableitung %%g_k'''(x)%%, da sie von Null verschieden ist:

%%g_k'''(x)=6k\neq0%%, wegen %%k\in\mathrm{R}\setminus{\{0}\}%%.

c)

(4 BE)

Der Wendepunkt %%W_k%% liegt auf der y-Achse, wenn sein x-Wert Null ist.

Setze den x-Wert des Wendpunkts gleich Null und löse die Gleichung nach %%k%% auf:

%%\begin{array}{rcll} \displaystyle -\frac1k-1&=&0&|\;\cdot k\\ -1-k&=&0&|\;+k\\ k&=&-1\end{array}%%

Die Funktionsgleichung für %%k=-1%% lautet

%%g_{-1}(x)=-x^3+9x%%.

%%x=0%% liefert die y-Koordinate des Wendepunkts %%W_{-1}%%:

%%g_{-1}(0)=-0^3+9\cdot 0=0%%.

Also liegt der Wendepunkt %%W_{-1}%% im Koordinatenursprung.

Für die Steigung von %%g_{-1}%% im Punkt %%(0|0)%% erhältst du:

%%g_{-1}'(x)=-3x^2+9\;\Rightarrow\; g_{-1}'(0)=9%%

Die Wendetangente der Funktionenschar hat also für die Funktion mit %%k=-1%% die Steigung %%9%%.

Lösung Teilaufgabe d)

d)

(2 BE)

Als Steigungsdreieck der eingezeichneten Tangente nimmst du das Dreieck mit Koordinatenursprung, dem Punkt %%(1|0)%% und dem Tangentenpunkt für %%x=1%%.

Der y-Wert dieses Tangentenpunktes hat den Wert %%9%%.

Damit kannst du die y-Achse wie gewünscht skalieren.

Skalierung

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